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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Mo 23.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für jedes $a [mm] \in \IR$ [/mm] gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{a}{n})^{n}=e^{a}
[/mm]
Hinweis:
Berechnen Sie zuerst [mm] \limes_{x\rightarrow 0} exp(\bruch{1}{x}*ln(1+ax)),z.B. [/mm] indem Sie den Grenzwert des Exponenten [mm] \bruch{1}{x}*ln(1+ax) [/mm] mit der Regel von de l´Hospital bestimmen. |
Hallo,
ich habe den Hinweis gerechnet, und bekomme folgendes raus:
Also: Bestimmung von [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1}{x}*ln(1+ax)$ [/mm] mittels l´Hospital.
[mm] \Rightarrow $\bruch{\limes_{x\rightarrow 0}ln(1+ax)}{\limes_{x\rightarrow 0}x}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{0}{0}$ \Rightarrow [/mm] l´Hospital anwendbar.
[mm] \Rightarrow [/mm] Differenzieren: [mm] $\bruch{\limes_{x\rightarrow 0}ln(1+ax)}{\limes_{x\rightarrow 0}x}$ [/mm] =
[mm] $\bruch{\limes_{x\rightarrow 0}(ln(1+ax))^{´}}{\limes_{x\rightarrow 0}(x)^{´}}$ [/mm] = [mm] $\bruch{\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1}{1+ax}}{\limes_{x\rightarrow 0}1}$ [/mm] = [mm] $\bruch{\limes_{x\rightarrow 0}1}{\limes_{x\rightarrow 0}1}$=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}exp(\bruch{1}{x}*ln(1+ax))=exp(1)=e
[/mm]
So, aber jetzt weiß ich nicht mehr weiter.
Ich habe nur durch rumrechnen rausgefunden, dass [mm] $\limes_{x\rightarrow 0} exp(\bruch{a}{x}*ln(1+ax))=e^{a}$, [/mm] also wenn mann quasi a einsetzt und mit l´Hospital weiter rechnet $a$ rauskommt.
Aber ich kriege jetzt die Verknüpfung nicht hin zu dem was man ja eigentlich zeigen soll.
Ich wäre für eine Hilfestellung dankbar.
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Hallo Rados!
Du hast beim Ableiten (de l'Hospital) die innere Ableitung gemäß  Kettenregel vergessen:
[mm]... \ = \ \bruch{\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1}{1+ax}*\red{a}}{\limes_{x\rightarrow 0}1} \ = \ a[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Mo 23.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
Ok, danke.
Diese blöde Kettenregel, ich vergesse immer das innere abzuleiten.
Naja,
aber trotzdem bringt mich das nicht weiter.
Wie verbindet man jetzt diese Aussage mit dem was man zeigen soll ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Mo 23.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Rados
> Zeigen Sie, dass für jedes [mm]a \in \IR[/mm] gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{a}{n})^{n}=e^{a}[/mm]
> Hinweis:
> Berechnen Sie zuerst [mm]\limes_{x\rightarrow 0} exp(\bruch{1}{x}*ln(1+ax)),z.B.[/mm]
> indem Sie den Grenzwert des Exponenten
> [mm]\bruch{1}{x}*ln(1+ax)[/mm] mit der Regel von de l´Hospital
> bestimmen.
> Hallo,
> ich habe den Hinweis gerechnet, und bekomme folgendes
> raus:
>
> Also: Bestimmung von [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1}{x}*ln(1+ax)[/mm]
> mittels l´Hospital.
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\bruch{\limes_{x\rightarrow 0}ln(1+ax)}{\limes_{x\rightarrow 0}x}[/mm]
>
> [mm]= \bruch{0}{0}[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] l´Hospital anwendbar.
> [mm]\Rightarrow[/mm] Differenzieren: [mm]\bruch{\limes_{x\rightarrow 0}ln(1+ax)}{\limes_{x\rightarrow 0}x}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{\limes_{x\rightarrow 0}(ln(1+ax))^{´}}{\limes_{x\rightarrow 0}(x)^{´}}[/mm]
> = [mm]\bruch{\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1}{1+ax}}{\limes_{x\rightarrow 0}1}[/mm]
> = [mm]\bruch{\limes_{x\rightarrow 0}1}{\limes_{x\rightarrow 0}1}[/mm]=1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}exp(\bruch{1}{x}*ln(1+ax))=exp(1)=e[/mm]
>
> So, aber jetzt weiß ich nicht mehr weiter.
> Ich habe nur durch rumrechnen rausgefunden, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} exp(\bruch{a}{x}*ln(1+ax))=e^{a}[/mm],
> also wenn mann quasi a einsetzt und mit l´Hospital weiter
> rechnet [mm]a[/mm] rauskommt.
Die Anwendung ist einfach, wenn du dran denkst , dass man [mm] a=e^{lna} [/mm] schreiben kann! also:
[mm][mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{a}{n})^{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}e^{ln((1+\bruch{a}{n})^{n})}= \limes_{n\rightarrow\infty}e^{n*ln(1+\bruch{a}{n})}=[/mm] [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}e^{\bruch{ln(1+\bruch{a}{n})}{\bruch{1}{n}}}[/mm]
Gruss leduart
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