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Hallo,
ich habe da ein riesiges Problem. Und zwar habe ich eine Aufgabe bekommen, die ich zwar gelöst habe, aber nicht weiß ob das richtig ist.
Ich brauch einfach eure Hilfe.
Die Aufgabe lautet:
Die Bevölkerung eines Landes wird sich bei gleichmäßigen proportionalem Wachstum nach einer Prognose in 27 Jahren verdoppel. Geben sie die jährlichen prozentualen Wachstumsraten der Bevölkerung an.
Lösung:
Ich habe 2 Lösungswege:
1)
c = Bevölkerung; a= prozentuales Wachstum
nach dem Gleichung: y = [mm] c*a^x
[/mm]
dann setz ich ein: 2c/27 = [mm] c*a^1
[/mm]
durch umstellen und kürzen erhalte ich a = 0,074
also ungefähr 7%
2)
nach eigener Abbildung können 7% nicht hinkommen.
also habe ich die 2 auf der linken Seite entfernt, die für die Verdopplung der Bevölkerung stand und erhalte einen Wert von ungefähr a = 0,03 also 3%.
Nun weiß ich aber nicht ob dies richtig ist und warum ich die 2 weglassen sollte, kann es sein dass die Verdopplung gar keine Rolle spielt sondern einfach die BEvölkerung nach den 27 Jahren an sich????
Für jede Antwort bin ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Searchgirl!
Da hast du dich ein wenig verhaspelt, es muss wie folgt lauten:
Wie du schon korrekt genannt hast, berechnet sich die Bevölkerung nach $t$ Jahren, einer Anfangspopulation [mm] $c_0$ [/mm] und einem jährlichem Wachstumsfaktor $a$ über [mm] $c(t)=c_0\cdot a^t$. [/mm] Dies musst du nun mit deiner Aufgabe vergleichen und prüfen, was dir gegeben ist und was nicht.
Die einzige Information, die du gegeben hast, ist die Veränderung der Population nach 27 Jahren. Dort soll sich die Bevölkerung verdoppelt haben. Es muss also [mm] $c(27)=2c_0$ [/mm] gelten, da ja [mm] $c_0$ [/mm] die Anfangspopulation zur Zeit 0 ist. Daraus ergibt sich [mm] $2c_0=c_0 a^{27}$. [/mm] Dies dividierst du durch [mm] $c_0$ [/mm] und erhälst [mm] $2=a^{27}\gdw \sqrt[27]{2}=a\approx [/mm] 1,026$. Die Wachstumsrate beträgt also 2,6%. Klar?
Ist dir nun selbst klar, was du falsch gemacht hast?
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Ihr beiden,
> ich habe da ein riesiges Problem. Und zwar habe ich eine
> Aufgabe bekommen, die ich zwar gelöst habe, aber nicht weiß
> ob das richtig ist.
> Ich brauch einfach eure Hilfe.
> Die Aufgabe lautet:
> Die Bevölkerung eines Landes wird sich bei gleichmäßigen
> proportionalem Wachstum nach einer Prognose in 27 Jahren
proportional !!!
> verdoppel. Geben sie die jährlichen prozentualen
> Wachstumsraten der Bevölkerung an.
>
> Lösung:
> Ich habe 2 Lösungswege:
> 1)
> c = Bevölkerung; a= prozentuales Wachstum
>
> nach dem Gleichung: y = [mm]c*a^x
[/mm]
> dann setz ich ein: 2c/27 = [mm]c*a^1
[/mm]
> durch umstellen und kürzen erhalte ich a = 0,074
> also ungefähr 7%
>
> 2)
> nach eigener Abbildung können 7% nicht hinkommen.
> also habe ich die 2 auf der linken Seite entfernt, die für
> die Verdopplung der Bevölkerung stand und erhalte einen
> Wert von ungefähr a = 0,03 also 3%.
> Nun weiß ich aber nicht ob dies richtig ist und warum ich
> die 2 weglassen sollte, kann es sein dass die Verdopplung
> gar keine Rolle spielt sondern einfach die BEvölkerung nach
> den 27 Jahren an sich????
>
Du verwechselst m.E. "prozentuales" Wachstum mit proportionalem (=linearem) und exponentiellem Wachstum:
Prozentuales Wachstum kenne ich als Begriff eigentlich nicht. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Am Anfang schreibst du ja auch von "proportionalem" Wachstum, und das ist so definiert,
dass in gleichen Zeitabschnitten der gleiche (konstante) Zuwachs zu verzeichnen ist:
$p(t) = [mm] c_0 [/mm] + q*t$
Wenn sich nun nach 27 Jahren der Anfangswert verdoppelt, so gilt: $p(27) = [mm] c_0 [/mm] + q*27 = [mm] 2*c_0$
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] $q = [mm] \bruch{c_0}{27}$.
[/mm]
In einem Jahr wächst p(t) jeweils um q , der prozentuale Zuwachs ist daher:
[mm] $\bruch{c_0 + q}{c_0}= [/mm] 1 + [mm] \bruch{q}{c_0}$ [/mm] mit
[mm] $\bruch{q}{c_0} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{c_0}{27}}{c_0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{27} \approx [/mm] 0,037$
Ich vermute mal, dass Ihr in der nächsten Stunde auf das exponentielle Wachstum zu sprechen kommt und dann lineares mit exponentiellem Wachstum vergleichen werdet.
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Hallo ihr beiden,
erst einmal danke für eure Bemühungen.
Im Moment bin ich leicht verwirrt. Es ist klar, dass es ein lineares Wachstum ist. Nach einer Abbildung stimmen 3%, jedoch leuchten mir 2,6% auch ein. Aber ich weiß echt nicht wie ich bei solchen Aufgaben den Ansatz finden soll!
mfg
searchgirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Di 01.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo searchgirl!
Es ist schwer, eine allgemeine Bedingung für lineares bzw. exponentielles Wachstum zu finden.
Eine Möglichkeit wäre die folgende:
Wenn das, was anwächst, selbst zum Wachstum beiträgt, wird es wahrscheinlich ein exponentielles Wachstum sein. So auch bei der Population. Wächst sie, leben mehr Menschen und es werden dementsprechend auch mehr Menschen geboren. Die Größe der Population beeinflusst also auch die Veränderung ihrerselbst.
Z.B. könnte auch gefragt werden, wie viel Quadratmeter der Oberfläche eines Sees mit Algen bedeckt sind, wenn zu Beginn soundsoviel Fläche bedeckt war und sich die Fläche jeden Tag um 3% vergrößert. Auch hier: die dazugewonnene Fläche nach einem Tag wirkt sich auf die Veränderung der Fläche am darauffolgenden Tag aus.
Wenn du hingegen eine Aufgabe gestellt bekommst, in der das Wachstum einer Größe offensichtlich unabhängig von ihrem eigenen Wert ist, dann wirst du wahrscheinlich lineares Wachstum verwenden müssen. "Hans türmt jede Stunde [mm] $2m^3$ [/mm] Schnee auf, weil er ein Igloo bauen will. Welches Volumen hat sein Schneehaufen nach 5 Stunden, wenn er zu Beginn $0.5m³$ groß war? Da wirkt sich der Wert der zu betrachtenden Größe nicht auf das Wachstum aus - Hans wirft immer fröhlich weiter. Rollt Hans (tolle beispiele, ich weiß) einen Schneeball, dann wächst das Volumen dieses Schneeballes nicht linear, sondern exponentiell, denn: bei einem großen Volumen des Schneeballes nimmt er beim Rollen auch immer mehr Schnee auf.
Ich hoffe ich konnte dir ein wenig auf die Sprünge helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo searchgirl,
> Hallo ihr beiden,
> erst einmal danke für eure Bemühungen.
> Im Moment bin ich leicht verwirrt. Es ist klar, dass es ein
> lineares Wachstum ist. Nach einer Abbildung stimmen 3%,
> jedoch leuchten mir 2,6% auch ein. Aber ich weiß echt nicht
> wie ich bei solchen Aufgaben den Ansatz finden soll!
lineares Wachstum liegt immer dann vor, wenn in gleichen Zeitabschnitten konstante Zuwächse zu beobachten sind.
exponentielles Wachstum zeigt sich durch veränderliche Zuwächse pro Zeitabschnitt.
Beispiel:
linear: Zinszahlung konstanter Zinssatz pro Jahr, die Zinsen werden am Ende des Jahres abgehoben; die Zinsen sind jedes Jahr gleich hoch.
exponentiell: Zinseszins, die Zinsen werden im nächsten Jahr dem Kapital zugeschlagen und mitverzinst, die Zinsen wachsen von Jahr zu Jahr.
Hilft dir das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Mi 02.02.2005 | | Autor: | searchgirl |
na klar hilft mir das. Nochmal ein dankeschön an alle, die mir tipps gegeben haben
mfg
searchgirl
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