Explizite Form: Rekursion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Sa 20.06.2009 | | Autor: | djd92l |
| Aufgabe | Stellen Sie [mm] a_n [/mm] in geschlossener Form dar.
[mm] $$a_n [/mm] = [mm] a_{n-1} [/mm] + [mm] 8*a_{n-2} [/mm] - [mm] 12*a_{n-3}$$ [/mm] Anfangswerte:
[mm] a_0 [/mm] = 1
[mm] a_1 [/mm] = 0
[mm] a_2 [/mm] = -1
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Hallo!
Bei dieser Aufgabe komme ich nicht so recht weiter, da ich das Problem habe, nicht alle Koeffizienten ausrechnen zu können.
Begonnen habe ich damit, dass ich [mm] a_n [/mm] = [mm] x^n [/mm] gesetzt habe.
[mm] \Rightarrow x^n=x^{n-1}+8*x^{n-2}-12*x^{n-3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 1=\bruch{1}{x}+\bruch{8}{x^2}-\bruch{12}{x^3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^3-x^2-8*x+12=0
[/mm]
Um die Nullstellen zu berechnen "rate" ich die erste, und zwar [mm] x_0=2.
[/mm]
Jetzt führe ich eine Polynomdivision durch, um auf die möglichen Restlichen Nullstellen zu finden:
[mm] x^3-x^2-8*x+12/(x-2)=x^2+x-6
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_0=2 [/mm] und [mm] x_1=-3 [/mm] .
Jetzt tritt mein Problem auf. Ich muss ja die explizite Form in der Gestalt
[mm] a_n=A*{x_0}^n+B*{x_1}^n+C*{x_2}^n
[/mm]
mit $$A, B, C [mm] \in \IR$$ [/mm] berechnen.
Ich habe aber nur 2 Nullstellen gefunden, so dass ich ein Gleichungssystem zur Lösung der Koeffizienten nicht benutzen kann (Ich brauche ja mindestens 3 Nullstellen dafür).
Hätte ich 3 Nullstellen gefunden, sähe das so aus (Einsetzen der Anfangswerte):
$1=A+B+C$
[mm] 0=2*A-3*B+x_3*C
[/mm]
[mm] -1=4*A+9*B+{x_3}^2*C
[/mm]
Naja, wie gesagt, das LGS kann ich nicht lösen, mir fehlt eine Nullstelle.
Das ich irgendwas falsch mache, ist klar  .
Es wäre sehr schön, wenn mir jemand sagen könnte, was genau ich falsch mache/nicht bedenke o.ä. .
Viele Grüße und schon mal vielen Dank für eure Mühe,
djd92l
P.S.: Ich habe die Frage nur in diesem Forum gestellt
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Du hast 3 Nullstellen - nur die eine ist doppelt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:35 Sa 20.06.2009 | | Autor: | djd92l |
Hi,
wenn ich den Graphen zeichne, geht er durch die x=-3 und x=2, an der 2 ist jedoch eine Extremstelle, so dass diese Tatsächlich eine Doppelte Nullstelle ist. Darauf hätt' ich echt kommen können...
Ok, dann ergibt sich folgendes LGS:
$1=A+B+C$
$0=2*A+2*B-3*C$
$-1=4*A+4*B+9*C$
dieses ist jedoch nicht lösbar, da eine Ungleichung entsteht. Nachgeprüft mit einem Matheprogramm.
Heißt das, dass die explizite Darstellung für diese Rekursion nicht möglich ist?
Viele Grüße,
djd92l
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 22.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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