Exp-Fkt. einer Matrix < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend alle zusammen!
Beim Thema "Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizeinten" bin ich nun auf die Exponentialfunktion einer Matrix gestoßen. Leider haben wir dazu in der Übung nichts gerechnet und ich habe ein wenig Probleme damit. :-(.
Meine erste Frage ist die folgende:
In der Vorlesung steht, dass [mm] M(n; \mathbb R ) [/mm] ein Banach - Raum ist mit der Dimension [mm] n^2 [/mm]
Warum hat das diese Dimension?
Desweiteren steht dann folgendes:
[mm] e^{ \| A \| } = \summe_{k=0 }^\infty \bruch{1}{k!} \| A \|^k [/mm]
Wie kann ich mir diese Norm vorstellen?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Guten Abend alle zusammen!
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> Beim Thema "Lineare Differentialgleichungen mit konstanten
> Koeffizeinten" bin ich nun auf die Exponentialfunktion
> einer Matrix gestoßen. Leider haben wir dazu in der Übung
> nichts gerechnet und ich habe ein wenig Probleme damit.
> :-(.
>
> Meine erste Frage ist die folgende:
>
> In der Vorlesung steht, dass [mm]M(n; \mathbb R )[/mm] ein Banach -
> Raum ist mit der Dimension [mm]n^2[/mm]
>
> Warum hat das diese Dimension?
>
Weil [mm]\{E_{ij}|i,j=1,..,n\} \text{ mit } E_{ij}=(e_{kl})_{k,l=1,..,n} \text{ mit } e_{kl}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k=i, l=j \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm] eine Basis ist (z.B. [mm]E_{2,3}\in M(4; \IR) = \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]).
> Desweiteren steht dann folgendes:
>
> [mm]e^{ \| A \| } = \summe_{k=0 }^\infty \bruch{1}{k!} \| A \|^k[/mm]
>
> Wie kann ich mir diese Norm vorstellen?
Das ist keine Norm - es ist die Definition der Exponentialfunktion, da [mm] \|A\| [/mm] eine Zahl ist.
>
> Viele Grüße
> Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Framl |
Hi,
also entweder war deine Frage, was die Norm einer Matrix ist, oder du wolltest wissen wie die Exponentialreihe für Matrizen definiert ist. (d.h. die [mm] $||\cdot||$-Zeichen [/mm] gehörten da nicht hin), oder?
Wenn es der erste Punkt war:
Die Matrixnorm ist definiert durch:
[mm] $||A||=\sup_{x\neq 0}\frac{||Ax||}{||x||}$
[/mm]
Das sind ja beides (Ax und x) wieder Elemente eines Vektorraus, auf dem eine "gewöhnliche" Norm definiert ist.
Wenn es die zweite Frage war:
Da gibts nen Artikel bei Wikipedia 
Gruß Framl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Di 22.07.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Erstmal danke für die Beiträge!
Meine Frage bezüglich der Norm war nicht eindeutig formuliert, sorry deswegen. Aber die Normstriche waren in der Vorlesung genau so gesetzt worden. Dennoch wurde meine Frage beantwortet, denn ich wusste nicht genau, wie ich mit der Norm der Matrix umgehen soll .
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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