Existieren folgende Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \limes_{n\rightarrow\ 0 } \wurzel{\bruch{1}{x}+1} [/mm] ( [mm] \wurzel{\bruch{1}{x}+a} [/mm] - [mm] \wurzel{\bruch{1}{x}+1} [/mm] )
wobei a [mm] \ge [/mm] 1 |
Also bei der Aufgabe würde ich den vorderen Ausdruck in die Klammer holen damit ich die Wurzeln wegkriege. Was mach ich den mit dem Wurzel a?
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Hallo Achilles!
Es geht fast wie bei der anderen Aufgabe: erweitere den Term mit [mm] $\left(\wurzel{\bruch{1}{x}+a} \ \red{+} \ \wurzel{\bruch{1}{x}+1}\right)$ [/mm] zu einer 3. binomischen Formel.
Gruß vom
Roadrunner
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Okay, habe ich dann nachdem ich die BF ausgeführt habe [mm] \wurzel{\bruch{1}{x}+1} [/mm] * (a+1) stehen?
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Hallo Dario,
> Okay, habe ich dann nachdem ich die BF ausgeführt habe
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{x}+1}[/mm] * (a+1) stehen?
Ich erhalte was anderes, was hast du denn gerechnet?
[mm] $\sqrt{\frac{1}{x}+1}\cdot{}\left(\sqrt{\frac{1}{x}+a}-\sqrt{\frac{1}{x}+1}\right)=\frac{\sqrt{\frac{1}{x}+1}\cdot{}\left(\sqrt{\frac{1}{x}+a}-\sqrt{\frac{1}{x}+1}\right)\blue{\cdot{}\left(\sqrt{\frac{1}{x}+a}+\sqrt{\frac{1}{x}+1}\right)}}{\blue{\sqrt{\frac{1}{x}+a}+\sqrt{\frac{1}{x}+1}}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{\sqrt{\frac{1}{x}+1}\cdot{}\left(\frac{1}{x}+a-\frac{1}{x}-1\right)}{\sqrt{\frac{1}{x}+a}+\sqrt{\frac{1}{x}+1}}$
[/mm]
[mm] $=(a-1)\cdot{}\frac{\sqrt{\frac{1}{x}+1}}{\sqrt{\frac{1}{x}+a}+\sqrt{\frac{1}{x}+1}}$
[/mm]
Nun im Nenner [mm] $\sqrt{\frac{1}{x}+1}$ [/mm] ausklammern, kürzen, zusammenfassen und den Grenzübergang [mm] $x\to [/mm] 0$ machen ...
LG
schachuzipus
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Sorry Schachuzipus, letzte Frage.
Wie klammer ich denn $ [mm] \sqrt{\frac{1}{x}+1} [/mm] $ aus $ [mm] \sqrt{\frac{1}{x}+a} [/mm] $ aus?
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> Sorry Schachuzipus, letzte Frage.
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> Wie klammer ich denn [mm]\sqrt{\frac{1}{x}+1}[/mm] aus
> [mm]\sqrt{\frac{1}{x}+a}[/mm] aus?
Hallo
Nun, beim zurückmultiplizieren mit der Klammer muss es ja den ursprünglichen Term geben... darum:
[mm] \sqrt{\bruch{1}{x} + a} [/mm] + [mm] \sqrt{\bruch{1}{x} + 1} [/mm] = [mm] \sqrt{\bruch{1}{x} + 1} [/mm] ( [mm] \bruch{\sqrt{\bruch{1}{x} + a}}{ \sqrt{\bruch{1}{x} + 1}} [/mm] + 1)
Viele Grüsse, Amaro
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und was soll ich nun mit diesem Doppelbruch rauskürzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Mo 15.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
erweitern mit [mm] \wurzel{x}
[/mm]
Gruss leduart
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Hey Leute, ich komm damit irgendwie nicht klar. Kann mir bitte jemand den Weg zum Grenzwert aufzeigen.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
> Hey Leute, ich komm damit irgendwie nicht klar. Kann mir
> bitte jemand den Weg zum Grenzwert aufzeigen.
schön wäre es, wenn du mal deine Versuche posten würdest.
Zuerst mal im Nenner ausklammern:
$\sqrt{\frac{1}{x}+a}+\sqrt{\frac{1}{x}+1}=\sqrt{\frac{1}{x}+1}\cdot{}\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{x}+a}}{\sqrt{\frac{1}{x}+1}}+1\right)$
Dann kannst du den Faktor vor der Klammer, also das $\sqrt{\frac{1}{x}+1}$ schonmal wegkürzen gegen denselben Faktor im Nenner
Die verbleibende Klammer noch zusammenfassen, zuerst mal gleichnamig machen und das Wurzelgesetz $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}$ benutzen:
$\frac{\sqrt{\frac{1}{x}+a}}{\sqrt{\frac{1}{x}+1}}+1=\sqrt{\frac{\frac{ax+1}{x}}{\frac{x+1}{x}}}+1$
Durch einen Bruch dividiert man, indem man mit dem Kehrwert multipliziert:
$=\sqrt{\frac{ax+1}{x}\cdot{}\frac{x}{x+1}}+1=\sqrt{\frac{ax+1}{x+1}}+1 \ \longrightarrow \sqrt{\frac{a\cdot{}0+1}{0+1}}+1=\sqrt{1}+1=2 \ \ \text{für} \ x\to 0$
Nun setze alles zusammen ...
LG
schachuzipus
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Hallo Achilles2084,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0 } \wurzel{\bruch{1}{x}+1}(\wurzel{\bruch{1}{x}+a}-\wurzel{\bruch{1}{x}+1})[/mm]
>
> wobei a [mm]\ge[/mm] 1
> Also bei der Aufgabe würde ich den vorderen Ausdruck in
> die Klammer holen damit ich die Wurzeln wegkriege. Was mach
> ich den mit dem Wurzel a?
Wenn ich den Term wörtlich nehme, ist alles konstant, weil du nach n [mm] \to [/mm] 0 fragst... 
Du meinst wohl vielmehr: [mm] $\limes_{x\rightarrow\ 0 } \wurzel{\bruch{1}{x}+1}(\wurzel{\bruch{1}{x}+a}-\wurzel{\bruch{1}{x}+1})$ [/mm] ?
Das $a_$ ist einfach eine reelle Zahl, also konstant wie z.B. 1 oder 1000 ...
Ich habe als erstes mal den Term ausmultipliziert...
Gruß informix
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Hallo informix,
> Hallo Achilles2084,
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> > [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0 } \wurzel{\bruch{1}{x}+1}(\wurzel{\bruch{1}{x}+a}-\wurzel{\bruch{1}{x}+1})[/mm]
>
> >
> > wobei a [mm]\ge[/mm] 1
> > Also bei der Aufgabe würde ich den vorderen Ausdruck in
> > die Klammer holen damit ich die Wurzeln wegkriege. Was mach
> > ich den mit dem Wurzel a?
>
> Wenn ich den Term wörtlich nehme, ist alles konstant, weil
> du nach n [mm]\to[/mm] 0 fragst...
>
> Du meinst wohl vielmehr: [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0 } \wurzel{\bruch{1}{x}+1}(\wurzel{\bruch{1}{x}+a}-\wurzel{\bruch{1}{x}+1})[/mm]
> ?
>
> Das [mm]a_[/mm] ist einfach eine reelle Zahl, also konstant wie z.B.
> 1 oder 1000 ...
>
> Ich habe als erstes mal den Term ausmultipliziert...
Nun, hat es geholfen?
Das gibt doch für [mm] $x\to [/mm] 0$ einen unbestimmten Ausdruck [mm] $\infty-\infty$ [/mm] ...
>
> Gruß informix
LG
schachuzipus
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