Existenzsätze < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:07 So 11.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich beschäftige mich u.a. ( als Prüfunsvorbereitung ) mit dem lokalen und globalen Existenz- & Eindeutigkeitssatz.
Könnte mir jemand erklären , wo da der erhebliche Unterschied liegt?
Außer, dass beim globalen Satz auf kompakten Teilmengen gearbeitet wird, sehe ich nicht wirklich den Unterschied.. :-(. Warum wird da auf kompakte Teilmengen eingeschränkt?
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:00 Mo 12.05.2008 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo,
> Guten Abend!
>
> Ich beschäftige mich u.a. ( als Prüfunsvorbereitung ) mit
> dem lokalen und globalen Existenz- & Eindeutigkeitssatz.
> Könnte mir jemand erklären , wo da der erhebliche
> Unterschied liegt?
> Außer, dass beim globalen Satz auf kompakten Teilmengen
> gearbeitet wird, sehe ich nicht wirklich den Unterschied..
> :-(. Warum wird da auf kompakte Teilmengen eingeschränkt?
du musst schon etwas genauer angeben, was in den verschiedenen saetzen steht , die du meinst. bei den lokalen saetzen meinst du vermutlich picard-lindeloef und/oder peano (welchen?) Und welchen satz meinst du mit 'global'?
gruss
matthias
> Vielen Dank für die Hilfe!
>
> Viele Grüße
> Irmchen
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen!
Oh, sorry! Ich dachte, dass es klar, welche Sätze ich meine...
1. lokaler Existenz- & Eindeutigkeitssatz :
Sei U offen in [mm] \mathbb R^{n+1} [/mm], [mm] f: U \to \mathbb R^n [/mm] stetig , [mm] (x_0, y_0 ) \in U [/mm]. f sei lokal Lipschitz - stetig im 2. Argument. Dann ex eine eindeutig bestimmte Lösung [mm] \phi: I \to \mathbb R^n [/mm] von [mm] y' = f(x,y) [/mm] mit folgender Eigenschaft:
1. [mm] \phi ( x_0 ) = y_0 [/mm]
2. Der Definitionsbereich I von [mm] \phi [/mm] ist maximal.
2. Globaler Existenz - & Eindeutigkeitssatz :
Sei I ein offenes Intervall und [mm] f: I x \mathbb R^n \to \mathbb R^n [/mm] eine stetige Funktion mit folgender Eigenschaft:
Für jedes kompakte Intervall [mm] K \subset I [/mm] ist [mm] f |_{K x \mathbb R^n } [/mm] Lipschitz - stetig im 2. Argument.
Ist [mm] (x_0, y_0 ) \in I \mathbb R^n [/mm] , so gibt es genau eine Lösung [mm] \phi : I \to \mathbb R^n [/mm] der Differentialgleichung [mm] y' = f(x,y ) [/mm] mit [mm] \phi (x_0 ) = y_0 [/mm].
Vielen Dank für die HIlfe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Guten Morgen!
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> Oh, sorry! Ich dachte, dass es klar, welche Sätze ich
> meine...
>
> 1. lokaler Existenz- & Eindeutigkeitssatz :
>
> Sei U offen in [mm]\mathbb R^{n+1} [/mm], [mm]f: U \to \mathbb R^n[/mm]
> stetig , [mm](x_0, y_0 ) \in U [/mm]. f sei lokal Lipschitz -
> stetig im 2. Argument. Dann ex eine eindeutig bestimmte
> Lösung [mm]\phi: I \to \mathbb R^n[/mm] von [mm]y' = f(x,y)[/mm] mit
> folgender Eigenschaft:
>
> 1. [mm]\phi ( x_0 ) = y_0[/mm]
> 2. Der Definitionsbereich I von [mm]\phi[/mm]
> ist maximal.
>
Hier ist f auf U definiert und U kann beschränkt oder unbeschränkt sein. Hier ist die Lösung zwar maximal, aber es ist nicht gesagt, wie 'groß' das Existenzintervall I 'im Verhältniss' zu U ist, also I kann ein sehr kleiner Teil von U sein, vorallem wenn I beschränkt und U unbeschränkt ist - deswegen bloß eine 'lokale Lösung'.
> 2. Globaler Existenz - & Eindeutigkeitssatz :
>
> Sei I ein offenes Intervall und [mm]f: I x \mathbb R^n \to \mathbb R^n[/mm]
> eine stetige Funktion mit folgender Eigenschaft:
>
> Für jedes kompakte Intervall [mm]K \subset I[/mm] ist [mm]f |_{K x \mathbb R^n }[/mm]
> Lipschitz - stetig im 2. Argument.
> Ist [mm](x_0, y_0 ) \in I \mathbb R^n[/mm] , so gibt es genau eine
> Lösung [mm]\phi : I \to \mathbb R^n[/mm] der Differentialgleichung
> [mm]y' = f(x,y )[/mm] mit [mm]\phi (x_0 ) = y_0 [/mm].
>
Hier ist f auf [mm] I\times\IR^n [/mm] definiert, also auf einer unbeschränkten Menge, genauer gesagt eben dem ganzen [mm] \IR^n. [/mm] Und deine Lösung ist ebenfalls auf ganz I definiert, also eine 'globale Lösung'.
edit: Hierbei kann I auch ganz [mm] \IR [/mm] sein.
>
> Vielen Dank für die HIlfe!
>
> Viele Grüße
> Irmchen
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