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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Di 24.07.2007 | | Autor: | lala14 |
| Aufgabe | | [mm] a_n [/mm] sei eine Folge in einem normierten Raum E. Man zeige, dass eine Folge [mm] x_n [/mm] von Punkten von E sowie eine streng monoton wachsende Folge [mm] k_n [/mm] ganzer Zahlen existiert derart, dass [mm] \lim_{n \to \infty}x_n [/mm] ist und [mm] a_n=\sum_{i=0}^{k_n} x_i [/mm] für jedes n gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Leider verstehe ich nicht ganz, was der Sinn dieser Aufgabe ist und habe somit auch keine Ahnung wie ich damit anfangen soll?
Kann mir bitte jemand helfen?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Di 24.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]a_n[/mm] sei eine Folge in einem normierten Raum E. Man zeige,
> dass eine Folge [mm]x_n[/mm] von Punkten von E sowie eine streng
> monoton wachsende Folge [mm]k_n[/mm] ganzer Zahlen existiert derart,
> dass [mm]\lim_{n \to \infty}x_n[/mm] ist und [mm]a_n=\sum_{i=0}^{k_n} x_i[/mm]
> für jedes n gilt.
Das soll sicher [mm] $\lim_{n\to\infty} x_n [/mm] = 0$ heissen, oder?
> Leider verstehe ich nicht ganz, was der Sinn dieser Aufgabe
> ist
Dabei kann ich dir auch nicht helfen 
> und habe somit auch keine Ahnung wie ich damit anfangen
> soll?
Also, wenn man erstmal die Bedingung [mm] $\lim_{n\to\infty} x_n [/mm] = 0$ ignoriert, ist es ja ''ganz einfach'': setze [mm] $x_0 [/mm] := [mm] a_0$ [/mm] und [mm] $a_n [/mm] := [mm] x_n [/mm] - [mm] x_{n-1}$ [/mm] fuer $n [mm] \ge [/mm] 1$. Dann ist [mm] $\sum_{i=0}^n x_i [/mm] = [mm] a_n [/mm] - [mm] a_0 [/mm] + [mm] x_0 [/mm] = [mm] a_n$ [/mm] (Teleskopsumme).
Die Idee fuer die Aufgabe ist jetzt, das [mm] $a_n$ [/mm] in mehrere 'Teile' aufzuteilen, etwa $k$ mal [mm] $\frac{a_n}{k}$. [/mm] Ich demonstriere das mal an einem Beispiel:
Du hast die Folge $0, 1, 0, 1, 0, 1, ...$ gegeben. Die Differenzenfolge [mm] $(x_i)_i$ [/mm] waere somit $0, 1, -1, 1, -1, 1, -1, ...$.
Wenn du jetzt die Differenzenfolge zu $0, 1, -1/2, -1/2, 1/3, 1/3, 1/3, -1/4, -1/4, -1/4, -1/4, 1/5, 1/5, ...$ umformst und [mm] $k_0 [/mm] := 0$, [mm] $k_1 [/mm] := 1$, [mm] $k_2 [/mm] := 1 + 2 = 3$, [mm] $k_4 [/mm] := 3 + 3 = 6$, [mm] $k_5 [/mm] := 6 + 4 = 10$, [mm] $k_6 [/mm] := 10 + 5 = 15$, [mm] $k_7 [/mm] := 15 + 6 = 21$, etc. setzt, bekommst du die geforderte Eigenschaft.
Versuch am Besten erstmal dieses Beispiel nachzuvollziehen.
Und warum man das so machen kann? Dazu ueberleg dir, was [mm] $\lim x_n [/mm] = 0$ heisst: Naemlich, dass es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $n_0$ [/mm] gibt so, dass fuer alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt [mm] $|x_n| [/mm] < [mm] \varepsilon$. [/mm] Wenn du jetzt etwa $N$ mit [mm] $\frac{1}{N} [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] waehlst und dafuer sorgst, dass [mm] $|x_n| [/mm] < [mm] \frac{1}{N}$ [/mm] ist fuer alle $n [mm] \ge k_N$, [/mm] so hast du die Bedingung erfuellt. Im meinem Beispiel ist uebrigens [mm] $|x_i| \le \frac{1}{n}$ [/mm] fuer alle $i [mm] \ge k_n$.
[/mm]
LG Felix
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