Existenzbeweis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Di 25.10.2005 | | Autor: | ElemEnt |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Auf dem Übungsblatt meiner LA1 Vorlesung soll ich beweisen, dass genau ein Körper F2 aus 0 und 1 existiert.
Klar ist: Die Menge, eben {0,1} und ich habe auch schon [mm] \oplus [/mm] und [mm] \odot [/mm] sowie das Kommutativgesetz
Schwer fällt mir der Beweis vom AG und DG, sowie dem dozierten Eindeutigkeitsaxim der Lösungen
Frage1: Ist es korrekt, dass es 3 Fälle im AG [ a+(b+a), a+(b+b), a+(a+a) entsprechend für [mm] \odot]
[/mm]
und 3 Fälle im DG [ a(b+a), a(b+b), a(a+a)] zu unterscheiden gilt?
Frage2: Muss ich bei dem Lösbarkeitsaxiom einfach die Möglichkeiten durprobieren? ( also 1 und 0 einsetzen in x+a=b bzw. y*a=b für a v b)
Ich hoffe diese Frage ist nicht all zu unverständlich geschrieben!!
Wäre nett wenn mir dabei jemand hilft
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Di 25.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Klar ist: Die Menge, eben {0,1} und ich habe auch schon
> [mm]\oplus[/mm] und [mm]\odot[/mm] sowie das Kommutativgesetz
Wie hast du das gemacht? Also die Rechenregeln für die 1 und die 0 sind ja schon festgelegt - also ist die Addition und die Multiplikation schon eindeutig. wenn es einen Körper gibt, dann gibt es also maximal einen.
> Schwer fällt mir der Beweis vom AG und DG, sowie dem
> dozierten Eindeutigkeitsaxim der Lösungen
Wenn einem nichts besseres einfällt: einfach alle Axiome nachprüfen - bei den paar Verknüpfungen (Sobal zB in der Multiplikation eine 0 auftaucht, ist der Ausdruck immer 0, egal wie geklammert, ansosnten 1)
> Frage1: Ist es korrekt, dass es 3 Fälle im AG [ a+(b+a),
> a+(b+b), a+(a+a) entsprechend für [mm]\odot][/mm]
> und 3 Fälle im DG [ a(b+a), a(b+b), a(a+a)] zu
> unterscheiden gilt?
Welche Fälle? jede Position muss alle zwei Zahlen durchluafen - für das Distributivgesetz also 8 Gleichungen.
> Frage2: Muss ich bei dem Lösbarkeitsaxiom einfach die
> Möglichkeiten durprobieren? ( also 1 und 0 einsetzen in
> x+a=b bzw. y*a=b für a v b)
Kann man so machen.
Aber zum ganzen: habt ihr da irgendwelche Hilfskonstruktionen - habt ihr zB schon so was wie [m]\IZ_n[/m] (Z modulo n) definiert? Damit würde es einfacher gehen.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:50 Mi 26.10.2005 | | Autor: | ElemEnt |
Zunächst mal vielen Dank für deine schnelle Antwort SEcki, ich habe leider nur sehr spät Zeit gehabt wieder hereinzuschauen!
Mit den Verknüpfungen auf M dachte ich mir Fogendes:
[mm] \odot [/mm] : ich habe zwei Elemente zu verknüpfen, also
1*a=a [mm] \Rightarrow [/mm] 1*0=0 und 1*1=1
a*b=0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=0 v b=0 sagt 0*b=0 und a*0=0
so habe ich eine Multiplikation auf M.
[mm] \oplus [/mm] : da 0+a=a [mm] \Rightarrow [/mm] 0+0=0 und 0+1=1 und 1+0=1
weiter fehlt nur noch 1+1.
Annahme 1+1=1:
[mm] \Rightarrow [/mm] x+1=0 (mit Anspruch der eindeutigen Lösungen in M)
[mm] \Rightarrow [/mm] x+1=0+0
[mm] \Rightarrow [/mm] x+(1*1)=0+0
[mm] \Rightarrow [/mm] x=0 und 1*1=0 (Widerspruch zur 1*1=1)
[mm] \Rightarrow [/mm] Annahme war falsch
[mm] \Rightarrow [/mm] 1+1=0
Jetzt habe ich die Verknüpfungen.
Also noch die Axiome
KG: 1) a+b=1+0=1=0+1=b+a
2) a+a=0=a+a
Das waren meine Ergebnise, weshalb ich "Klar ist:" geschrieben habe
Ich dachte nun ich müsste drei Fälle unterscheiden, die sich bei dem AG ergeben aus:
1. 0+(0+0) und 1+(1+1)
2. 0+(1+1) und 1+(0+0)
3. 0+(0+1) und 1+(0+1) [sowie 0+(1+0) und 1+(0+1) entspricht aber dem ersten teil wegen des bewiesenen KG]
Die drei Fälle lauten allgemein
1. a+(a+a)
2. a+(b+b)
3. a+(b+a)
Entsprechend bin ich in der Multiplikation vorgegangen und beim DG.
Wenn ich hier falsch liege wär ich für eine Berichtigung meiner Gedanken sehr dankbar.
Die Frage ob ich mit [mm] \IZ [/mm] mudulo n etwas anfangen kann ist generell nein, obgleich in der Vorlesung dieser Sprachgebrauch im Zusammenhang mit Primkörpern verwendet wurde. Allerdings kann ich keinerlei Charakterisierung ersehen, was (für mich zumindest) die Verwendung dieses "Objekts" nicht emöglicht.
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