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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Existenz von Umkehrabbildung
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Existenz von Umkehrabbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 Mi 27.05.2015
Autor: mathenoob3000

Aufgabe
Sei $f: [mm] \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto (x^2-y^2, \quad [/mm] 2xy)$
a) Zeigen Sie dass zu jedem $(x,y) [mm] \neq [/mm] (0,0)$ eine offene Umgebung $U$ von $(x,y)$ gibt, so dass [mm] $f_{|U}$ [/mm] eine stetig diffbare  Umkehrabbildung besitzt.

b) Hat [mm] $f_{|\mathbb{R}^2 \backslash(0,0)} [/mm] $ eine Umkehrabbildung?

c) Warum gibt es keine offene Umgebung $U$ von $(0,0)$ derart, dass [mm] $f_{|U} [/mm] $ eine Umkehrabbildung besitzt

Zu a)
Hier kann ich doch einfach den Satz der Umkehrabbildung anwenden.
Und da dei Determinante der Jacobi Matrix $= [mm] 4x^2 [/mm] + [mm] 4y^2 [/mm] > 0 [mm] \quad \forall [/mm] (x,y) [mm] \neq [/mm] (0,0)$ ist, existiert eine stetige diffbare Umkehrabbildung.

b)
ist dass nicht das gleiche wie a)?

c)
Die Determinante der Jacobi Matrix im Nullpunkt ist Null, also nicht invertierbar, also existiert keine Umkehrabbildung.


Verstehe die Umkehrabbildungen noch nicht. Die a) sollte aber stimmen?
Die c) wird nicht so einfach sein wie ich es geschrieben habe, aber wie zeige ich dass keine Umkehrabbildung existiert?


lg

        
Bezug
Existenz von Umkehrabbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:55 Do 28.05.2015
Autor: fred97


> Sei [mm]f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, (x,y) \mapsto (x^2-y^2, \quad 2xy)[/mm]
>  
> a) Zeigen Sie dass zu jedem [mm](x,y) \neq (0,0)[/mm] eine offene
> Umgebung [mm]U[/mm] von [mm](x,y)[/mm] gibt, so dass [mm]f_{|U}[/mm] eine stetig
> diffbare  Umkehrabbildung besitzt.
>  
> b) Hat [mm]f_{|\mathbb{R}^2 \backslash(0,0)}[/mm] eine
> Umkehrabbildung?
>  
> c) Warum gibt es keine offene Umgebung [mm]U[/mm] von [mm](0,0)[/mm] derart,
> dass [mm]f_{|U}[/mm] eine Umkehrabbildung besitzt
>  Zu a)
>  Hier kann ich doch einfach den Satz der Umkehrabbildung
> anwenden.
> Und da dei Determinante der Jacobi Matrix [mm]= 4x^2 + 4y^2 > 0 \quad \forall (x,y) \neq (0,0)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> ist, existiert eine stetige diffbare Umkehrabbildung.

Genauer: ist $ (x,y) \neq (0,0) $ , so gibt es eine offene Umgebung $ U $ von $ (x,y) $ , so dass $ f_{|U} $ eine stetig diffbare  Umkehrabbildung besitzt.

>  
> b)
>  ist dass nicht das gleiche wie a)?

Nein !! In a) wird eine Lokale Aussage gemacht. f ist auf mathbb{R}^2 \backslash(0,0)} nicht injektiv, denn

    f(x,y)=f(-x,-y)   für alle x,y

>  
> c)
>  Die Determinante der Jacobi Matrix im Nullpunkt ist Null,
> also nicht invertierbar, also existiert keine
> Umkehrabbildung.

Das ist kein Argument !!!!

>  
>
> Verstehe die Umkehrabbildungen noch nicht. Die a) sollte
> aber stimmen?
>  Die c) wird nicht so einfach sein wie ich es geschrieben
> habe, aber wie zeige ich dass keine Umkehrabbildung
> existiert?


f(-x,0)=x^2=f(x,0)

FRED

>  
>
> lg


Bezug
                
Bezug
Existenz von Umkehrabbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:33 Do 28.05.2015
Autor: mathenoob3000

Vielen Dank.


lg

Bezug
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