Existenz von Lösungen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Fr 22.06.2012 | | Autor: | Vilietha |
| Aufgabe | Betrachte die DGL x'(t)=f(t,x), wobei [mm] f\in C^1 [/mm] (D), und D [mm] \subset \IR^2 [/mm] offen ist.
Beweise dass für jede kompakte Menge K [mm] \subset [/mm] D ein h>0 existiert so dass für alle [mm] (t_0,x_0) \in [/mm] K eine eindeutige Lösung existiert welche durch diesen Punkt verläuft und im Intervall [mm] t\in[t_0 [/mm] - [mm] h,t_0+h] [/mm] existiert. |
Hallo zusammen,
meine Beweisidee:
Sei d:=dist(K,D).
Es gilt d > 0 da K kompakt und D offen ist.
Sei nun [mm] h_0:=d/2.
[/mm]
Wähle K' [mm] \subset [/mm] D mit [mm] K\subset [/mm] K' und [mm] dist(K',D)
Da f [mm] \in C^1(D) [/mm] ist muss f Lipschitz auf K sein.
Dies bedeutet zum einen dass mit Picard-Linelöf eine eindeutige Lösung x in K' existiert.
Und des weiteren bedeutet es dass x auch Lipschitz in K' (mit Lipschitzkonstante L) sein muss.
Jetzt wählen wir [mm] h=h_0/L, [/mm] und dies bedeutet dass für alle [mm] (t_0,x_0) \in [/mm] K die entsprechende Lösung x mindestens im Intervall [mm] [t_0 [/mm] - [mm] h,t_0+h] [/mm] existieren muss, da sie K' nicht in t-Richtung verlässt aber ebenso wenig in x-Richtung verlassen kann wegen der Wahl von h und der Lipschitz-Stetigkeit.
Ist dieser Beweis so in Ordnung?
Ich freue mich auf Eure Antworten.
Viele Grüße,
Vilietha
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Fr 22.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Vorgehen ist im Prinzip richtig und gut., ich weiss nicht wie ihr dist(K,D) definiert habt, falls das der Abstand vom Rand sein soll ist alles richtig, ich hätte [mm] dist(K,\delta [/mm] D) geschrieben oder eine Umgebung K' von K definiert, die in D liegt und deren Randpunkte d von K entfernt sind.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:15 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Leduart,
vielen Dank für Deine Antwort! 
Ja genau mit dist(K,D) meinte ich den Abstand zwischen K und D. Wir hatten dies bisher nicht in der Vorlesung definiert, aber es erschien mir einfach logisch es so zu verwenden. Ich meine natürlich den minimalen Abstand (oder besser gesagt das Infimum der Abstände der Punktepaare von D und K). Was genau bedeutet das [mm] \delta [/mm] bei Dir in der Formel?
Ich sehe auch keinen Weg wie man es ohne diesen minimalen Abstand machen könnte. In Deinem zweiten Vorschlag verwendest du ja ein d>0 aber es müsste ja auch sicher gestellt werden dass dieses d<dist(K,D) ist.
Viele Grüße,
Vilietha
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Vilietha,
> Ja genau mit dist(K,D) meinte ich den Abstand zwischen K
> und D. Wir hatten dies bisher nicht in der Vorlesung
> definiert, aber es erschien mir einfach logisch es so zu
> verwenden. Ich meine natürlich den minimalen Abstand (oder
> besser gesagt das Infimum der Abstände der Punktepaare von
> D und K).
Wenn Du wie üblich
$\mathrm{dist}(L,M):=\inf\{d(x,y)\mid x\in L, y \in M\}$
definierst, ist $\mathrm{dist}(K,D)=0$, weil $K\subseteq D$ ist. Was Du wirklich willst, ist $\mathrm{dist (K,\IR^2\setminus D)$, denn der ist tatsächlich positiv. Gleichbedeutend hierzu ist der Abstand von $K$ zum Rand von $D$ und dies meinte leduart mit $\mathrm{dist}(K, \delta D)$.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:07 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Wolfgang,
vielen Dank für Deine hilfreiche Antwort!
Alle meine Fragen sind nun restlos beantwortet
Viele Grüße,
Vilietha
|
|
|
|
