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| Aufgabe 1 | Erkläre für die folgende Differentialgleichung, wieso eine eindeutige Lösung im angegebenen Intervall existiert:
y'-1 = cos [mm] (x^2e^y), [/mm] y(0)=0, x [mm] \in [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}] [/mm] |
| Aufgabe 2 | Erkläre für die folgende Differentialgleichung, wieso eine eindeutige Lösung im angegebenen Intervall existiert:
[mm] e^{t^2} [/mm] y'' + [mm] 4y^2 [/mm] = sint, y(0)=y'(0)=0, t [mm] \in [0,\frac{1}{6}] [/mm] |
| Aufgabe 3 | Erkläre für die folgende Differentialgleichung, wieso eine eindeutige Lösung im angegebenen Intervall existiert:
[mm] y'=e^{-x^3}y [/mm] + sinx [mm] tan^{-1}y, [/mm] y(0)=1, x [mm] \in [/mm] [-1, [mm] e^3] [/mm] |
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Mit Hilfe des Existenz-und Eindeutigkeitssatzes von Picard soll hier vermutlich argumentiert werden. Die Stetigkeit der Funktionen in 1 und 3 ist eindeutig zu sein, bleibt also die Lipschitzstetigkeit zu zeigen. Hier komme ich jedoch nicht weiter, da y Werte in ganz R annehmen kann. Die Stetigkeit der Ableitung reicht also somit nicht mehr aus und ich sehe keine Möglichkeit, den arctan oder diesen komplexeren cosinusausdruck in Aufgabe 1 abzuschätzen durch die Differenz [latex] [mm] |y_1-y_2| [/mm] [/latex].
Bei Frage 2 bin ich nun vollkommen verwirrt, weil ich bisher den Ansatz von Picard nur auf Differentialgleichungen erster Ordnung angewendet habe. Vielleicht kann mir hier auch jemand mit einem Ansatz weiterhelfen?
Vielen Dank.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Fr 26.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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