Existenz eines Punktes < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 So 23.09.2007 | | Autor: | Framl |
| Aufgabe | | Sei [mm] $f\in [/mm] C[0,1]$ mit $f(0)=f(1)$. Zeige, dass [mm] $\forall n\in\mathbb{N}\backslash \{0\}\:\exists x\in [0,1-\frac{1}{n}]$ [/mm] mit [mm] $f(x)=f(x+\frac{1}{n})$ [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich habe bei dieser Aufgabe folgende Lösungsidee:
Ist $f$ konstant [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Behauptung.
Sei also oBdA $f$ nicht konstant [mm] $\Rightarrow [/mm] f$ hat Extrempunkt [mm] $x_0\in (0,1)\Rightarrow \forall x\in (0,x_0) \exists\:y\in (x_0,1)$ [/mm] mit [mm] $f(x)=f(y)\Rightarrow...$.
[/mm]
Bin ich hier auf dem richigen Weg und wenn ja, wie kann ich hier weitermachen?
Gruß Framl
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Hi!
Ich wüßte nicht wie du da weitermachen sollst, aber vielleicht probiers du es einfach mal mit Induktion über n.
Vergiss es, war ne dumme Idee!
Probier es mal so:
Definiere [mm] g(x)=f(x)-f(x+1/n) [/mm]. Sei [mm] n \in \IN [/mm] beliebig.
Angenommen g(x)>0 für [mm] x \in [0,1-1/n] [/mm], dann müsste gelten:
[mm] f(0)>f(\bruch{1}{n})>f(\bruch{2}{n})>...>f(\bruch{n-1}{n})>f(\bruch{n}{n})=f(1) [/mm]
im Wiederspruch zu f(1)=f(0). Auch die Annahme g(x)<0 führst du so zum Widerspruch (> durch< ersetzen). Dann bleibt ja nur g(x)=0 für [mm] x \in [0,1-1/n] [/mm] und damit die Behauptung.
Allerdings bin ich mir da nicht zu hundertprozent sicher, deswegen poste ich es nur als Mitteilung
Gruß
Deuterinomium
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 So 23.09.2007 | | Autor: | Framl |
> Hi!
> Ich wüßte nicht wie du da weitermachen sollst, aber
> vielleicht probiers du es einfach mal mit Induktion über
> n.
>
> Vergiss es, war ne dumme Idee!
>
> Probier es mal so:
> Definiere [mm]g(x)=f(x)-f(x+1/n) [/mm]. Sei [mm]n \in \IN[/mm] beliebig.
> Angenommen g(x)>0 für [mm]x \in [0,1-1/n] [/mm], dann müsste
> gelten:
>
> [mm]f(0)>f(\bruch{1}{n})>f(\bruch{2}{n})>...>f(\bruch{n-1}{n})>f(\bruch{n}{n})=f(1)[/mm]
> im Wiederspruch zu f(1)=f(0). Auch die Annahme g(x)<0
> führst du so zum Widerspruch (> durch< ersetzen). Dann
> bleibt ja nur g(x)=0 für [mm]x \in [0,1-1/n][/mm] und damit die
> Behauptung.
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> Allerdings bin ich mir da nicht zu hundertprozent sicher,
> deswegen poste ich es nur als Mitteilung
>
> Gruß
> Deuterinomium
Das sieht gut aus. Danke 
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Hi!
Schau mal in meine Mitteilung!
Gruß Deuterinomium
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