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| Aufgabe | Sei [mm] U_{0} \subseteq \IR [/mm] offen in [mm] \IR [/mm] und [mm] f_{0}:U_{0} \to \IR [/mm] reell holomorph.
Man zeige, dass es eine in [mm] \IC [/mm] offene Menge U mit U [mm] \cap \IR [/mm] = [mm] U_{0} [/mm] und eine holomorphe Funktion f: U [mm] \to \IC [/mm] gibt, sodass f eingeschränkt auf [mm] U_{0} [/mm] die Funktion [mm] f_{0} [/mm] ergibt.
Kann man im Fall [mm] U_{0}=]-1,1[ [/mm] immer U:= {z||z|< 1} wählen? |
Hallo,
ich weiß bei der Aufgabe nicht ganz recht, wie ich hier anfangen soll. Wenn [mm] f_{0} [/mm] reell holomorph ist, dann lässt sich in [mm] U_{0} [/mm] überall lokal eine Potenzreihe finden.
Aber wie gehe ich da vor? Es gibt doch so viele? Dann soll ich den Identitätssatz anwenden. Ich sehe hier noch nicht den Zusammenhang. Wozu brauche ich den hier?
Kann mir hier jemand weiterhelfen, wie ich diese in [mm] \IC [/mm] offene Menge U mit U [mm] \cap \IR [/mm] = [mm] U_{0} [/mm] finde und die dazu holomorphe Funktion f: U [mm] \to \IC.
[/mm]
Vielen Dank für die Hilfe.
Milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 So 13.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> Sei [mm]U_{0} \subseteq \IR[/mm] offen in [mm]\IR[/mm] und [mm]f_{0}:U_{0} \to \IR[/mm]
> reell holomorph.
> Man zeige, dass es eine in [mm]\IC[/mm] offene Menge U mit U [mm]\cap \IR[/mm]
> = [mm]U_{0}[/mm] und eine holomorphe Funktion f: U [mm]\to \IC[/mm] gibt,
> sodass f eingeschränkt auf [mm]U_{0}[/mm] die Funktion [mm]f_{0}[/mm]
> ergibt.
> Kann man im Fall [mm]U_{0}=]-1,1[[/mm] immer U:= {z||z|< 1} wählen?
>
> Hallo,
> ich weiß bei der Aufgabe nicht ganz recht, wie ich hier
> anfangen soll. Wenn [mm]f_{0}[/mm] reell holomorph ist, dann lässt
> sich in [mm]U_{0}[/mm] überall lokal eine Potenzreihe finden.
Zu jedem Punkt $x [mm] \in U_0$ [/mm] gibt es also ein [mm] $\varepsilon_x [/mm] > 0$ so, dass [mm] $V_x^0 [/mm] := [mm] \left]x - \varepsilon_x, x + \varepsilon_x\right[$ [/mm] komplett in [mm] $U_0$ [/mm] enthalten ist und dass die Potenzreihenentwicklung $f(t) = [mm] \sum_{n=0}^\infty a_n [/mm] (t + [mm] x)^n$ [/mm] um $x$ auf ganz [mm] $V_x^0$ [/mm] konvergiert.
Dann definiert die Potenzreihe jedoch eine auf [mm] $V_x [/mm] := [mm] \{ y \in \IC \mid |y - x| < \varepsilon_x \}$ [/mm] eine holomorphe Funktion [mm] $f_x [/mm] : [mm] V_x \to \IC$, [/mm] die auf [mm] $V_x^0$ [/mm] mit $f$ uebereinstimmt.
Wenn du jetzt $x, x' [mm] \in U_0$ [/mm] hast mit [mm] $V_x \cap V_{x'} \neq \emptyset$, [/mm] dann gilt auch [mm] $V_x^0 \cap V_{x'}^0 \neq \emptyset$, [/mm] und [mm] $f_x$ [/mm] und [mm] $f_{x'}$ [/mm] stimmen auf [mm] $V_x^0$ [/mm] bzw. [mm] $V_{x'}^0$ [/mm] beide mit $f$ ueberein. Nach dem Identitaetssatz stimmen somit [mm] $f_x$ [/mm] und [mm] $f_{x'}$ [/mm] auf [mm] $V_x^0 \cap V_{x'}^0$ [/mm] ueberein, und nochmal wegen dem Identitaetssatz stimmen [mm] $f_x$ [/mm] und [mm] $f_{x'}$ [/mm] auf [mm] $V_x \cap V_{x'}$ [/mm] ueberein.
Damit (das musst du dir noch ein kleines bisschen ueberlegen) gibt es eine holomorphe Funktion [mm] $\hat{f} [/mm] : [mm] \bigcup_{u \in U_0} V_x \to \IC$ [/mm] mit$ [mm] \hat{f}|_{V_x} [/mm] = [mm] f_x$ [/mm] fuer alle $x$, also insbesondere [mm] $\hat{f}|_{U_0} [/mm] = f$.
Zu der Zusatzfrage: Das gilt nicht. Und zwar brauchst du eine holomorphe Funktion $f : U [mm] \to \IC$ [/mm] mit $U [mm] \cap \left]-1, 1\right[ [/mm] = [mm] \left]-1, 1\right[$ [/mm] so, dass $f$ auf ein $z [mm] \in \partial [/mm] U$ mit $|z| < 1$ nicht fortgesetzt werden kann (etwa weil es dort eine Singularitaet hat). Such beispielsweise eine Funktion, die auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] holomorph ist bis auf bei $z = [mm] \frac{1}{2} [/mm] i$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:50 So 13.05.2007 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo Felix,
vielen Dank für deine ausführliche Hilfe. Ich glaube schon, dass sie mir sehr weiter helfen wird.
Vielen Dank nochmal!
Milka
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