Existenz einer Reihe < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:59 Mo 12.05.2008 | | Autor: | JanJan |
| Aufgabe | Untesuchen Sie mi Hilfe eines geeigneten Integals, ob die Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}\left( \bruch{\pi}{2} - arctan(n)\right)
[/mm]
konvergiert. |
Hallo!
Irgendwie komme ich bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter :/
Meine Strategie ist, ein uneigentliches Integral zu nehmen, zu zeigen, dass es existiert und somit die Aufgabe zu lösen, das ist aber leider doch nicht ganz so einfach ...
Als "geeignetes uneigentliches Integral" wähle ich:
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x}\left( \bruch{\pi}{2} - arctan(x)\right)
dx}
[/mm]
Die Reihe fängt ja auch erst bei $n = 1$ an, also braucht mein Integral ja auch nicht vorher zu beginnen.
Ich habe die Vermutung, dass das Integral existiert, da [mm] \bruch{1}{x} [/mm] gegen 0 geht und [mm] \left( \bruch{\pi}{2} - arctan(x)\right) [/mm] auch.
Doch jetzt fangen meine Sorgen erst richtig an:
Um zu zeigen, dass dieses Integral existiert suche ich eine geeignete Majorante. (ich habs sogar schon mit Potenzreihen um den Entwicklungspunkt [mm] $x_{0} [/mm] = 1$ probiert, aber das war eher ein Schuss in den Ofen, weil dabei keine verwertbaren Regelmäßigkeiten auftraten...)
Ich hab mir mal beide Funktionen geplottet angeschaut und dabei kam heraus, dass [mm] \bruch{1}{x} [/mm] nen Tick größer zu seien scheint, als [mm] \left( \bruch{\pi}{2} - arctan(x)\right), [/mm] also würde ich gerne [mm] \bruch{1}{x}*\bruch{1}{x} [/mm] als Majorante verwenden, aber wie zeige ich, dass dies auch wirklich eine Majorante ist? Ist es im Endeffekt doch keine?
Denn wenn man sich die Steigungen mal anschaut, sieht man, dass sich [mm] \bruch{1}{x} [/mm] schneller an die x-Achse anschmiegt als [mm] \left( \bruch{\pi}{2} - arctan(x)\right): [/mm]
[mm] -\bruch{1}{x^{2}} [/mm] < [mm] -\bruch{1}{1+^{2}}
[/mm]
Ist [mm] \bruch{1}{x} [/mm] also doch keine gute Majorante für [mm] \left( \bruch{\pi}{2} - arctan(x)\right) [/mm] und bin ich auf einem totalen Holzweg?
mfg JanJan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:50 Mo 12.05.2008 | | Autor: | bamm |
Ich bin mir bei bei deiner Aufgabe nicht wirklich sicher, deswegen nur als Mitteilung: Warum das ganze mit Majorante, usw.? Beim Integralkriterium rechnet man doch einfach das Integral aus (wenn f(x) monoton fallend ist, nur positive Werte annimmt und ab einem bestimmten Wert p definiert ist). Wenn das Integral einen endlichen Wert annimmt, dann konvergiert die Reihe.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Mo 12.05.2008 | | Autor: | JanJan |
Ich habe jetzt mal probiert, deinen Tipp umzusetzen, nur das Problem ist, dass sich das Integral:
$ [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x}\left( \bruch{\pi}{2} - arctan(x)\right) dx} [/mm] $
einfach nicht vernünftig lösen lässt. (Mit partieller Integration kommt man da auf geradezu abenteuerliche Terme ;) Und wie ich es auch probiere, es kommt nur heraus, dass das Integral nicht existiert.
Bei meinem Versuch eine Lösung des Integrals mit Derive zu finden, bin ich auch nicht auf eine Lösung gekommen, sondern Derive spuckte folgendes aus: [mm] $\infty*Sign(\pi-180)$ [/mm] Meiner Meinung nach, ist das doch das gleiche wie [mm] \infty, [/mm] oder?
Langsam komme ich zu dem Schluss, dass dieses Integral doch nicht existiert, aber wie kann ich das jetzt am besten zeigen?
Durch eine geeignete Minorante? Nur welche?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Di 13.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ein kurzer Blick in die Wikipedia sagt [mm] \bruch{\pi}{2}-arctan(x)=arctan(\bruch{1}{x}) [/mm] für x>1. Ausserdem gilt arctan(x)<x für x>0.
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