Existenz einer Abbildung < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Aktuelle Übungsaufgabe  (unbefristet) | | Datum: | 13:31 Di 24.03.2009 | | Autor: | pelzig |
| Aufgabe | | Gibt es eine Abbildung [mm] $\varphi:\IN\to\IN$ [/mm] mit [mm] $\{\varphi^n(1)\mid n\in\IN\}=\IN$? [/mm] |
Die Frage ist mir grad in den Sinn gekommen und ich fand sie irgendwie spannend. Meine Intuition sagt mir sowas muss es doch geben. Hat jemand eine Idee?
Edit: habe die Lösung nun selbst gefunden.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 Mi 25.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Das ist eine interessante Frage. Aber:
Eine solche Abbildung kann es nicht geben !
Beweis: Annahme, es gibt eine Abbildung $ [mm] \varphi:\IN\to\IN [/mm] $ mit $ [mm] \{\varphi^n(1)\mid n\in\IN\}=\IN [/mm] $
Dann gibt es ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\varphi^m(1) [/mm] = 1$
Sei [mm] n_0 [/mm] : = min { n [mm] \in \IN: \varphi^n(1) [/mm] = 1 }
und A : = { [mm] \varphi^k(1): [/mm] 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le n_0-1 [/mm] } [mm] \cup [/mm] {1}
Dann ist [mm] \varphi(A) [/mm] = [mm] \IN. [/mm] Da A aber endlich ist, ist auch [mm] \varphi(A) [/mm] endlich, Widerspruch!
FRED
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:42 Mi 25.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Ja, so hatte ich mir das auch gedacht. Schade eigentlich, dass es sowas nicht gibt.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 Mi 25.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Man mag es bedauern, aber ändern kann man es nicht
Gruß FRED
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