Existenz des Limes zeigen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Mo 28.01.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Wie zeigt man, daß
[mm] $\lim\limits_{t\to 0}\frac{\exp(x+th)-\exp(x)}{th}, x,h\in\mathbb{R}$
[/mm]
existiert? |
Ich habe leider keine Idee.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo mikexx!
Das kommt auch ein wenig darauf an, was Dir bekannt ist bzw. was Dir zur Verfügung steht.
Natürlich kann man hier Herrn de l'Hospital bemühen.
Andererseits kann man auch etwas umformen:
[mm]\limes_{t\to 0}\bruch{\exp(x+th)-\exp(x)}{th} \ = \ \limes_{t\to 0}\bruch{\exp(x)*\exp(th)-\exp(x)}{th} \ = \ \limes_{t\to 0}\bruch{\exp(x)*\left[\exp(th)-1\right]}{th} \ = \ \exp(x)*\limes_{t\to 0}\bruch{\exp(th)-\exp(0)}{th}[/mm]
Und der neue Grenzwertterm sollte Dich an die Ableitung der exp-Funktion an der Stelle [mm]x_0 \ = \ 0[/mm] erinnern.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mo 28.01.2013 | | Autor: | mikexx |
[mm] \exp(x)*\limes_{t\to 0}\bruch{\exp(th)-\exp(0)}{th}
[/mm]
>
> Und der neue Grenzwertterm sollte Dich an die Ableitung der
> exp-Funktion an der Stelle [mm]x_0 \ = \ 0[/mm] erinnern.
>
>
> Gruß
> Loddar
Ja, es ergibt sich [mm] $\exp(x)$.
[/mm]
Aber woher weiß ich, daß [mm] $\limes_{t\to 0}\bruch{\exp(th)-\exp(0)}{th}$ [/mm] existiert? 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Tja, wie ich oben schon schrieb: Du musst uns veraten, was Du alles verwenden darfst bzw. was ihr über die exp-Funktion wist und voraussetzen dürft.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 Mo 28.01.2013 | | Autor: | mikexx |
Ich moechte das möglicht voraussetzungslos zeigen.
Diese Aufgabe habe ich mir selbst gestellt, im Grunde darf ich alles Moegliche benutzen. Ich moechte es aber, wie gesagt, moeglichst elementar zeigen, bin aber auch dankbar dafuer, wenn ich mehrere Wege aufgezeigt bekaeme.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Mo 28.01.2013 | | Autor: | mikexx |
Richtig, von dem Artikel habe ich mich "inspirieren" lassen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Mo 28.01.2013 | | Autor: | cassi |
Es wäre schön, wenn Loddar sich bei mir (oder bei Marcel oder reverend) per PN melden würde.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Marcel |
> Richtig, von dem Artikel habe ich mich "inspirieren"
> lassen.
Also Humor hast Du ja. Ich meditier' mal drüber. ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\exp(x)*\limes_{t\to 0}\bruch{\exp(th)-\exp(0)}{th}[/mm]
> >
> > Und der neue Grenzwertterm sollte Dich an die Ableitung der
> > exp-Funktion an der Stelle [mm]x_0 \ = \ 0[/mm] erinnern.
> >
> >
> > Gruß
> > Loddar
>
> Ja, es ergibt sich [mm]\exp(x)[/mm].
>
> Aber woher weiß ich, daß [mm]\limes_{t\to 0}\bruch{\exp(th)-\exp(0)}{th}[/mm]
> existiert?
definiere Dir $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] durch [mm] $f(x):=\exp(x*h)\,.$ [/mm] Dann ist
[mm] $$f\,'(0)=\lim_{t \to 0} \frac{f(t)-f(0)}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{\exp(t*h)-\exp(0)}{t}=\red{h}*\lim_{t \to 0}\frac{\exp(t*h)-\exp(0)}{t*\red{h}}\,,$$
[/mm]
und nach der Kettenregel ist aber auch
[mm] $$f\,'(0)=\exp\,'(0*h)*h=h*\exp(0)=h*1=h\,.$$
[/mm]
Also?
Wobei das so sogar umständlich ist. Denn eigentlich gilt:
Die Funktion [mm] $\exp \colon \IR \to \IR$ [/mm] erfüllt
[mm] $$\exp\,'(0)=1\,.$$
[/mm]
Also folgt
[mm] $$\lim_{x \to 0} \frac{\exp(x)-\exp(0)}{x}=\exp\,'(0)=1\,.$$
[/mm]
D.h.:
[mm] $(\*)$ [/mm] Für alle Folgen [mm] ${(x_n)}_n$ [/mm] mit $0 [mm] \not=x_n \to [/mm] 0$ folgt also
[mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{\exp(x_n)-\exp(0)}{x_n-0}=\lim_{n \to \infty} \frac{\exp(x_n)-\exp(0)}{x_n}=1\,.$
[/mm]
Ist nun $h [mm] \in \IR \setminus \{0\}$ [/mm] fest und ist [mm] ${(t_n)}_n$ [/mm] eine Folge mit
$0 [mm] \not=t_n \to 0\,,$ [/mm] so kann man also [mm] $x_n:=t_n*h\,$ [/mm] in [mm] $(\*)$ [/mm] wählen.
Daraus folgt
[mm] $$\lim_{t \to 0} \frac{\exp(t*h)-\exp(0)}{t*h}=\exp\,'(0)=1\,.$$
[/mm]
Zur Erinnerung, was [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)\,$ [/mm] (per Definitionem) bedeutet:
![[]](/images/popup.gif) siehe etwa Definition 10.4
Anders gesagt kann man etwa direkt sagen:
Ist $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] differenzierbar an der Stelle [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] und gilt für $g [mm] \colon \IR \to \IR\,,$
[/mm]
dass [mm] $\lim_{x \to x_1} g(x)=x_0$ [/mm] und existiert ein [mm] $\delta [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so dass
für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $0 < [mm] |x-x_1| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] zudem $g(x) [mm] \not=x_0$ [/mm] gilt, so folgt:
[mm] $$f\,'(x_0)=\lim_{x \to x_1} \frac{(f \circ g)(x)-f(x_0)}{g(x)-x_0}=\lim_{x \to x_1} \frac{f(g(x))-f(x_0)}{g(x)-x_0}\,.$$
[/mm]
Sowas nutzt man übrigens sehr oft aus. Beispielsweise weiß man:
[mm] $$\sin(x)/x \to \sin\,'(0)=\cos(0)=1 \text{ bei }x \to 0\,.$$
[/mm]
Daher folgt
[mm] $$\sin(x^2)/x=x*\sin(x^2)/x^2 \to [/mm] 0*1=0 [mm] \text{ bei }x \to 0\,.$$
[/mm]
(Denn es gilt $x [mm] \to [/mm] 0 [mm] \Rightarrow x^2=x*x \to 0*0=0^2=0\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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