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| Aufgabe | Entscheiden Sie begründet, ob das folgende Integral existiert (Versuchen Sie NICHT es zu bestimmen):
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{(x+1)*sin(x)}{x^{3/2}*(x-\pi)} dx} [/mm] |
Hallo,
solche Aufgaben fallen mir generell immer sehr schwer, weil ich nicht weiß, wann eine Singularität integrierbar ist und wann nicht.
Hier sind die kritischen Stellen, wenn der Nenner null wird, also x=0 und [mm] x=\pi [/mm] sowie [mm] x\to\infty.
[/mm]
Ich habe jetzt das Problem, dass ich gar nicht weiß, wie ich da ansetze, wenn ich nun bsp. die Stelle [mm] x=\pi [/mm] betrachten will.
Natürlich gibt es kein Patentrezept, aber man kann ja nicht so vollkommen planlos da ran gehen wie ich.
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Sa 10.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Entscheiden Sie begründet, ob das folgende Integral
> existiert (Versuchen Sie NICHT es zu bestimmen):
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{(x+1)*sin(x)}{x^{3/2}*(x-\pi)} dx}[/mm]
>
> Hallo,
>
> solche Aufgaben fallen mir generell immer sehr schwer, weil
> ich nicht weiß, wann eine Singularität integrierbar ist
> und wann nicht.
>
> Hier sind die kritischen Stellen, wenn der Nenner null
> wird, also x=0 und [mm]x=\pi[/mm] sowie [mm]x\to\infty.[/mm]
> Ich habe jetzt das Problem, dass ich gar nicht weiß, wie
> ich da ansetze, wenn ich nun bsp. die Stelle [mm]x=\pi[/mm]
> betrachten will.
Schau dir doch erst einmal das Verhalten des Integranden an den kritischen Stellen an, also z.B.
[mm]\limes_{x\to\pi} \bruch{(x+1)*\sin x }{x^{3/2}*(x-\pi)} [/mm].
Wenn dieser Limes endlich ist, kann an diesem kritischen Punkt gar nichts passieren. (Warum?)
Tipp: der Faktor [mm] $\bruch{x+1}{x^{3/2}}$ [/mm] ist sowieso endlich, also geht es nur um den Limes
[mm] \limes_{x\to\pi} \bruch{\sin x }{x-\pi} = - \limes_{x\to\pi} \bruch{\sin( x-\pi) }{x-\pi} [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:28 Sa 10.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
>
> > Entscheiden Sie begründet, ob das folgende Integral
> > existiert (Versuchen Sie NICHT es zu bestimmen):
> >
> >
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{(x+1)*sin(x)}{x^{3/2}*(x-\pi)} dx}[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> >
> > solche Aufgaben fallen mir generell immer sehr schwer, weil
> > ich nicht weiß, wann eine Singularität integrierbar ist
> > und wann nicht.
> >
> > Hier sind die kritischen Stellen, wenn der Nenner null
> > wird, also x=0 und [mm]x=\pi[/mm] sowie [mm]x\to\infty.[/mm]
> > Ich habe jetzt das Problem, dass ich gar nicht weiß,
> wie
> > ich da ansetze, wenn ich nun bsp. die Stelle [mm]x=\pi[/mm]
> > betrachten will.
>
> Schau dir doch erst einmal das Verhalten des Integranden an
> den kritischen Stellen an, also z.B.
>
> [mm]\limes_{x\to\pi} \bruch{(x+1)*\sin x }{x^{3/2}*(x-\pi)} [/mm].
>
> Wenn dieser Limes endlich ist, kann an diesem kritischen
> Punkt gar nichts passieren. (Warum?)
>
> Tipp: der Faktor [mm]\bruch{x+1}{x^{3/2}}[/mm] ist sowieso endlich,
Allerdings nur, wenn x gegen unendlich geht. An der linken Intervallgrenze (x=0) muss man schon mal etwas genauer hinsehen.
Gruß Abakus
> also geht es nur um den Limes
>
> [mm]\limes_{x\to\pi} \bruch{\sin x }{x-\pi} = - \limes_{x\to\pi} \bruch{\sin( x-\pi) }{x-\pi} [/mm].
>
> Viele Grüße
> Rainer
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 18:26 Sa 10.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Tipp: der Faktor [mm]\bruch{x+1}{x^{3/2}}[/mm] ist sowieso endlich,
> Allerdings nur, wenn x gegen unendlich geht. An der linken
> Intervallgrenze (x=0) muss man schon mal etwas genauer
> hinsehen.
Ja natürlich, ich meinte auch nur in der Umgebung von [mm] $x=\pi$. [/mm] An den Grenzen des Integrals muss man genauer hinsehen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo,
danke für eure Antworten.
> Hallo!
>
> > Entscheiden Sie begründet, ob das folgende Integral
> > existiert (Versuchen Sie NICHT es zu bestimmen):
> >
> >
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{(x+1)*sin(x)}{x^{3/2}*(x-\pi)} dx}[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> >
> > solche Aufgaben fallen mir generell immer sehr schwer, weil
> > ich nicht weiß, wann eine Singularität integrierbar ist
> > und wann nicht.
> >
> > Hier sind die kritischen Stellen, wenn der Nenner null
> > wird, also x=0 und [mm]x=\pi[/mm] sowie [mm]x\to\infty.[/mm]
> > Ich habe jetzt das Problem, dass ich gar nicht weiß,
> wie
> > ich da ansetze, wenn ich nun bsp. die Stelle [mm]x=\pi[/mm]
> > betrachten will.
>
> Schau dir doch erst einmal das Verhalten des Integranden an
> den kritischen Stellen an, also z.B.
>
> [mm]\limes_{x\to\pi} \bruch{(x+1)*\sin x }{x^{3/2}*(x-\pi)} [/mm].
>
> Wenn dieser Limes endlich ist, kann an diesem kritischen
> Punkt gar nichts passieren. (Warum?)
>
> Tipp: der Faktor [mm]\bruch{x+1}{x^{3/2}}[/mm] ist sowieso endlich,
> also geht es nur um den Limes
>
> [mm]\limes_{x\to\pi} \bruch{\sin x }{x-\pi} = - \limes_{x\to\pi} \bruch{\sin( x-\pi) }{x-\pi} [/mm].
Wenn x hier gegen [mm] \pi [/mm] geht, dann geht der Grenzwert gegen (-1). der andere Grenzwert ist sowieso endlich. Das sollte also eigentlich kein Problem sein. Nur eine Frage, wie kamst du auf die Umformung zu [mm] -\bruch{sin(x-\pi)}{x-\pi} [/mm] ?
So jetzt versuche ich mich mal an x=0
Also, wenn x gegen null geht, dann ist $ sin(x) [mm] \approx [/mm] x $ also habe ich
[mm] \bruch{(x+1)*x}{x^{3/2}*(x-\pi)} [/mm] dividiere ich jetzt durch [mm] x^{3/2} [/mm] dann erhalte ich [mm] \bruch{x^{1/2}+x^{-1/2}}{x-\pi} [/mm] das geht jetzt für kleine x gegen [mm] \bruch{-1}{x^{1/2}}. [/mm] Wäre also endlich. ergo integrierbar.
Für [mm] x\to\infty [/mm] bin ich mir jetzt nicht ganz sicher, ich würde sagen, dass der Grenzwert gegen null geht, kanns aber nicht wirklich begründen. Wie gehe ich da vor ?
> Viele Grüße
> Rainer
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Sa 10.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> danke für eure Antworten.
>
> > Hallo!
> >
> > > Entscheiden Sie begründet, ob das folgende Integral
> > > existiert (Versuchen Sie NICHT es zu bestimmen):
> > >
> > >
> >
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{(x+1)*sin(x)}{x^{3/2}*(x-\pi)} dx}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > solche Aufgaben fallen mir generell immer sehr schwer, weil
> > > ich nicht weiß, wann eine Singularität integrierbar ist
> > > und wann nicht.
> > >
> > > Hier sind die kritischen Stellen, wenn der Nenner null
> > > wird, also x=0 und [mm]x=\pi[/mm] sowie [mm]x\to\infty.[/mm]
> > > Ich habe jetzt das Problem, dass ich gar nicht
> weiß,
> > wie
> > > ich da ansetze, wenn ich nun bsp. die Stelle [mm]x=\pi[/mm]
> > > betrachten will.
> >
> > Schau dir doch erst einmal das Verhalten des Integranden an
> > den kritischen Stellen an, also z.B.
> >
> > [mm]\limes_{x\to\pi} \bruch{(x+1)*\sin x }{x^{3/2}*(x-\pi)} [/mm].
>
> >
> > Wenn dieser Limes endlich ist, kann an diesem kritischen
> > Punkt gar nichts passieren. (Warum?)
> >
> > Tipp: der Faktor [mm]\bruch{x+1}{x^{3/2}}[/mm] ist sowieso endlich,
> > also geht es nur um den Limes
> >
> > [mm]\limes_{x\to\pi} \bruch{\sin x }{x-\pi} = - \limes_{x\to\pi} \bruch{\sin( x-\pi) }{x-\pi} [/mm].
>
> Wenn x hier gegen [mm]\pi[/mm] geht, dann geht der Grenzwert gegen
> (-1). der andere Grenzwert ist sowieso endlich. Das sollte
> also eigentlich kein Problem sein. Nur eine Frage, wie
> kamst du auf die Umformung zu [mm]-\bruch{sin(x-\pi)}{x-\pi}[/mm] ?
Quadrantenbeziehúngen. Es gilt sin x= [mm] sin(\pi-x)=- sin(x-\pi).
[/mm]
>
> So jetzt versuche ich mich mal an x=0
>
> Also, wenn x gegen null geht, dann ist [mm]sin(x) \approx x[/mm]
> also habe ich
>
> [mm]\bruch{(x+1)*x}{x^{3/2}*(x-\pi)}[/mm] dividiere ich jetzt durch
> [mm]x^{3/2}[/mm] dann erhalte ich [mm]\bruch{x^{1/2}+x^{-1/2}}{x-\pi}[/mm]
> das geht jetzt für kleine x gegen [mm]\bruch{-1}{x^{1/2}}.[/mm]
Hallo? [mm] x^{-1/2} [/mm] geht dann gegen unendlich.
Kürze lieber x im Bruch [mm]\bruch{(x+1)*x}{x^{3/2}*(x-\pi)}[/mm], dann erhältst du [mm]\bruch{(x+1)}{x^{1/2}*(x-\pi)}[/mm].
In der Nähe von 0 ist [mm]\bruch{(x+1)}{(x-\pi)}[/mm] endlich, die Frage ist also, ob du [mm]\bruch{1}{x^{1/2}}[/mm] bis an die Null heran integrieren kannst.
Gruß Abakus
> Wäre also endlich. ergo integrierbar.
>
> Für [mm]x\to\infty[/mm] bin ich mir jetzt nicht ganz sicher, ich
> würde sagen, dass der Grenzwert gegen null geht, kanns
> aber nicht wirklich begründen. Wie gehe ich da vor ?
>
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
>
> Lg
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Hi,
[mm] \bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] kann ich bis an die null heran integrieren. Das funktioniert also glaube ich, da es zu [mm] 2\wurzel{x} [/mm] integriert.
So, wenn [mm] x\to\infty [/mm] dann habe ich ist der Integrand nach Division durch [mm] \bruch{(x^{-1/2}+x^{-3/2})*sin(x)}{x-\pi}. [/mm] Der größte Term ist hier [mm] x^{-1/2} [/mm] und das ist integrierbar. Ich würde also sagen, dass auch das kein Problem sein sollte. Ist die Argumentation okay ?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Sa 10.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Hi,
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm] kann ich bis an die null heran
> integrieren.
Stimmt.
> Das funktioniert also glaube ich, da es zu
> [mm]2\wurzel{x}[/mm] integriert.
>
> So, wenn [mm]x\to\infty[/mm] dann habe ich ist der Integrand nach
> Division durch [mm]\bruch{(x^{-1/2}+x^{-3/2})*sin(x)}{x-\pi}.[/mm]
> Der größte Term ist hier [mm]x^{-1/2}[/mm] und das ist
> integrierbar. Ich würde also sagen, dass auch das kein
> Problem sein sollte. Ist die Argumentation okay ?
>
> Lg
Ich denke schon. Du musst halt nur die ganzen Puzzleteile etwas strukturiert zusammenfügen.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 So 11.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi,
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm] kann ich bis an die null heran
> integrieren. Das funktioniert also glaube ich, da es zu
> [mm]2\wurzel{x}[/mm] integriert.
>
> So, wenn [mm]x\to\infty[/mm] dann habe ich ist der Integrand nach
> Division durch [mm]\bruch{(x^{-1/2}+x^{-3/2})*sin(x)}{x-\pi}.[/mm]
> Der größte Term ist hier [mm]x^{-1/2}[/mm] und das ist
> integrierbar. Ich würde also sagen, dass auch das kein
> Problem sein sollte. Ist die Argumentation okay ?
Das ist mir nicht klar. Hast du den Nenner vergessen oder nicht?
1. ist [mm] $x^{-1/2}$ [/mm] nicht bis [mm] $\infty$ [/mm] integrierbar, und 2. ist für [mm] $x\gg\pi$ [/mm]
[mm] \bruch{1}{x-\pi} \approx x^{-1} [/mm] ,
und damit ist der größte Term [mm] $x^{-3/2}$, [/mm] und der ist in der Tat bis [mm] $\infty$ [/mm] integrierbar.
Viele Grüße
Rainer
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