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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:17 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sie [mm] $D\subset\IR$ [/mm] eine quadrierbare Menge und [mm] $f:D\to\IR$ [/mm] eine Riemann-integrierbare Funktion. Man begründe, warum dann auch die folgenden Riemann Integrale existieren:
a) [mm] J_1:=\int_{D}|f(x)|^{m}dx, m\in\IN [/mm]
b) [mm] J_2:= \int_{D}\sqrt{|f(x)|}dx [/mm] |
Hallo,
ich komme bei obiger Aufgabe nicht weiter, würde mich sehr über einen Tipp freuen. So waren meine Ansätze:
a) Eine Riemann-integrierbare Funktion ist per Definition auch beschränkt. Daher gibt es $m, M [mm] \in \IR$, [/mm] sd. [mm] $m\le{f(x)}\le{M}\;\forall{x\in{D}}$. [/mm] Wir haben in der Vorlesung gezeigt, wenn es ein Funktion [mm] $\phi:[m,M]\to\IR$ [/mm] gibt, die Lipschitz-stetig ist, so gilt: [mm] $\phi\circ{f}$ [/mm] ist Riemann-integrierbar.
Ich scheiter nun leider daran zu zeigen, dass [mm] $\phi$ [/mm] mit [mm] $\phi(x)=|x|^m$ [/mm] L-stetig ist, obwohl dies doch der Fall ist, da die Funktion auf einem Kompaktum definiert ist, oder?
Ich müsste zeigen [mm] $\forall{x,y\in{D}}:\;|\phi(x)-\phi(y)|\le{L|x-y|}$ [/mm] für ein [mm] $L\in\IR_{+}$. [/mm] Also:
[mm] |\phi(x)-\phi(y)| =\left||x|^m-|y|^m\right| [/mm] = ...
Hier komme ich nicht weiter. Was muss ich tun?
Oder habe ich den falschen Ansatz gewählt?
b) Hier kann ich leider den Ansatz aus Teil a) nicht verwenden, da die Funktion [mm] $\phi$ [/mm] mit [mm] $\phi(x)=\sqrt{|x|}$ [/mm] in $0$ nicht L-stetig ist.
Da ich aber auch z.B. nicht aussagen kann, dass f bis auf eine Nullmenge stetig ist, weiß ich nicht wie ich hier fortfahren soll? Kann man das überhaupt mit einem Satz begründen, oder muss ich vielleicht Ober- und Untersummen anschauen?
Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:13 Sa 10.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sie [mm]D\subset\IR[/mm] eine quadrierbare Menge und [mm]f:D\to\IR[/mm] eine
> Riemann-integrierbare Funktion. Man begründe, warum dann
> auch die folgenden Riemann Integrale existieren:
>
> a) [mm]J_1:=\int_{D}|f(x)|^{m}dx, m\in\IN[/mm]
>
> b) [mm]J_2:= \int_{D}\sqrt{|f(x)|}dx[/mm]
> Hallo,
>
> ich komme bei obiger Aufgabe nicht weiter, würde mich sehr
> über einen Tipp freuen. So waren meine Ansätze:
>
> a) Eine Riemann-integrierbare Funktion ist per Definition
> auch beschränkt. Daher gibt es [mm]m, M \in \IR[/mm], sd.
> [mm]m\le{f(x)}\le{M}\;\forall{x\in{D}}[/mm]. Wir haben in der
> Vorlesung gezeigt, wenn es ein Funktion [mm]\phi:[m,M]\to\IR[/mm]
> gibt, die Lipschitz-stetig ist, so gilt: [mm]\phi\circ{f}[/mm] ist
> Riemann-integrierbar.
> Ich scheiter nun leider daran zu zeigen, dass [mm]\phi[/mm] mit
> [mm]\phi(x)=|x|^m[/mm] L-stetig ist, obwohl dies doch der Fall ist,
> da die Funktion auf einem Kompaktum definiert ist, oder?
>
> Ich müsste zeigen
> [mm]\forall{x,y\in{D}}:\;|\phi(x)-\phi(y)|\le{L|x-y|}[/mm] für ein
> [mm]L\in\IR_{+}[/mm]. Also:
> [mm]|\phi(x)-\phi(y)| =\left||x|^m-|y|^m\right|[/mm] = ...
> Hier komme ich nicht weiter. Was muss ich tun?
> Oder habe ich den falschen Ansatz gewählt?
Ueberlege dir, dass fuer beliebige $A, B$ gilt [mm] $A^n [/mm] - [mm] B^n [/mm] = (A - B) [mm] \sum_{i=0}^{n-1} A_i B^{n-1-i}$. [/mm] Benutze das hier und schaetze die Summe nach oben ab.
> b) Hier kann ich leider den Ansatz aus Teil a) nicht
> verwenden, da die Funktion [mm]\phi[/mm] mit [mm]\phi(x)=\sqrt{|x|}[/mm] in [mm]0[/mm]
> nicht L-stetig ist.
Genau.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Do 15.07.2010 | | Autor: | Lippel |
Danke für die Tipps, hab die a) hinbekommen.
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Do 15.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Danke für die Tipps, hab die a) hinbekommen.
steppenhahn hat uebrigens die Tage noch ebenfalls eine Frage zu b) gestellt. Guck doch mal ob du den Thread findest, eventuell steht da was hilfreiches drinnen.
LG Felix
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Hallo Lippel,
ich hab's herausgefunden: Betrachte die Funktionenfolge [mm] $f_n [/mm] = [mm] \sqrt{\max\{|f|,\frac{1}{n}\}}$.
[/mm]
Stelle zunächst fest, dass [mm] f_n [/mm] R-integrierbar ist für [mm] n\in\IN.
[/mm]
Dann wende an, dass glm. konv. Funktionenfolgen einen Limes haben, der ebenfalls R-integrierbar ist.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Do 15.07.2010 | | Autor: | Lippel |
Wow, klingt nach einer ziemlich guten Idee, so kriegt man das Problem mit der 0 geregelt. Dann schau ich mal, ob ichs mit dem Tipp hinbekomme.
Vielen Dank, Stefan.
Grüße, Lippel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Di 13.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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