Existenz Minimum,R^n,Randpunkt < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Mo 23.03.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei A [mm] \subseteq \IR^n [/mm] eine nicht-leere abgeschlossene Teilmenge und p [mm] \in \IR^n \setminus [/mm] A ein Punkt. Man zeige: Es gibt (mindestens) einen Punkt q [mm] \in [/mm] A mit [mm] ||p-q||=dist(p,A):=inf\{||p-a||:a\in A\}
[/mm]
Dieser Punkt q ist ein Randpunkt von A. |
Hallo,
Wir hatten schon in einen anderen Bsp, dass x [mm] \mapsto [/mm] dist(x,A) stetig ist, wenn das hilft.
[mm] \IR^n \setminus [/mm] A ist offen. Also [mm] \exists \epsilon>0 [/mm] : p [mm] \in B_{\epsilon}(p) \subseteq \IR^n \setminus [/mm] A
Habt ihr Tipps, damit ich im Bsp einen Ansatz finde?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:06 Di 24.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissi,
> Sei A [mm]\subseteq \IR^n[/mm] eine nicht-leere abgeschlossene
> Teilmenge und p [mm]\in \IR^n \setminus[/mm] A ein Punkt. Man zeige:
> Es gibt (mindestens) einen Punkt q [mm]\in[/mm] A mit
> [mm]||p-q||=dist(p,A):=inf\{||p-a||:a\in A\}[/mm]
> Dieser Punkt q
> ist ein Randpunkt von A.
> Hallo,
>
> Wir hatten schon in einen anderen Bsp, dass x [mm]\mapsto[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> dist(x,A) stetig ist, wenn das hilft.
bei solchen Aufgaben hilft es auch, wenn man sich einfach mal ein "$\IR^2$-Bildchen"
malt.
Betrachte $f \colon A \to [0,\infty)$ definiert durch
$f(a)\,:=\,\|p-a\|\,.$
(Was $f\,$ "mißt", sieht man an einem solchen Bildchen sehr schön!)
1. $f\,$ ist stetig - Deine Aufgabe: Begründen! (Ich würde hier einfach die
Folgenstetigkeit und die Definition von $\|.\|$ benutzen; und natürlich die
Standardargumente, dass Summen stetiger Funktionen stetig sind etc. pp.!)
2. Weil $A\,$ kompakt ist, nimmt $f\,$ sein Infimum (und auch sein Supremum) an.
Einfache Frage an Dich: Wieso ist $A\,$ kompakt?
3. Was hat $\inf\{f(a):\;\; a \in A\}$ mit $\text{dist}(p,A)$ zu tun?
Jetzt sei $a'$ ein Punkt aus $A\,$, an dem $f\,$ sein Infimum annimmt:
Zum Randpunkt: Nimm' jetzt an, es wäre $a'\,$ mit $f(a')=\text{dist}(p,A)$ innerer Punkt von
$A\,$. Dann findest Du ein $r > 0$ so, dass $U_r(a')$ ganz in $A\,$ liegt. O.E.
sogar so, dass der Abschluss $\overline{U_r(a')$ (oder auch $\text{cl}(U_r(a'))$ geschrieben) ganz
zu $A\,$ gehört.
Wenn Du Dir jetzt ein $\IR^2$-Bildchen anguckst, kommst Du vielleicht auf
die Idee, mal $f\,$ eingeschränkt auf den Rand der letzten Kreislinie zu betrachten.
Versuche das mal allgemeiner hinzuschreiben. (Ich habe mir dahingehend
keine allzu großen Gedanken gemacht, aber meistens kommt man bei solchen
Dingen schon mit der Dreiecksungleichung oder der umgekehrten Dreiecksungleichung
zum Ziel!)
P.S. Rein *optisch* ist es naheliegend, dass die Verbindungsstrecke zwischen
$a'\,$ und $p\,$ die abgeschlossene Kugel $\text{cl}(U_r(a'))$ "durchstößt".
Daher liegt der "Durchstoßpunkt" näher an $p\,$ als $a\,'$, was nach Definition
von $f\,$ nicht sein kann!
Das muss man jetzt nur noch *mathematisieren*.
Mach's Dir erstmal in 2D und danach dann in 3D klar. Schreibe das dann in
*gewohnt lascher Weise* auf, also mit Überlegungen, wie man sie etwa
aus der Schulphysik kennt (Vektoren sind dort *Pfeile*, und man rechnet
halt so, wie man es gerne in der analytischen Geometrie macht).
Anders gesagt: Betrachte
$a'':=a'+\frac{r}{\|p-a'\|}*(p-a')\,.$
Fragen: a) Warum darf ich $\frac{1}{\|p-a'\|}$ hinschreiben?
b) $a''$ ist ein (Rand-)Punkt von $\text{cl}(U_r(a'))$ - warum?
c) Was ist $\|p-a''\|$ im Vergleich mit $\|p-a'\|$'?
(Hinweis: Berechne $\|p-a''\|$ - und bedenke am Ende, dass $|a-b| < \max\{a,b\}$ für
$a > 0\,$ und $b > 0\,$ gilt.)
Gruß,
Marcel
> [mm]\IR^n \setminus[/mm] A ist offen. Also [mm]\exists \epsilon>0[/mm] : p
> [mm]\in B_{\epsilon}(p) \subseteq \IR^n \setminus[/mm] A
>
> Habt ihr Tipps, damit ich im Bsp einen Ansatz finde?
> LG,
> sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Di 24.03.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke für deine Antwort und deinen Aufwand.
1) f stetig im Punkt a [mm] \in [/mm] A:
Sei [mm] (x_n)_{n\in \IN} [/mm] eine Folge von Punkten aus A mit [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} x_n=a
[/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n)=\lim_{n\rightarrow\infty} ||p-x_n|| =||\lim_{n\rightarrow\infty}(p-x_n)||=||p-\lim_{n\rightarrow\infty} x_n|| [/mm] =||p-a||?f(a)
Argument [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] f stetig auf A
2)Wie Fred angedeutet erkenne ich nicht dein Argument zu A kompakt.
Weder ist [mm] \IR^n [/mm] kompakt um A als abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Mengen zu sehen oder sehe ich wieso A beschränkt sein sollte..
Die Argumentation zum Randpunkt sehe ich mir wenn ich den ersten Teil gelöst habe genauer an;)
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Di 24.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hi Sissile,
> Hallo,
> Danke für deine Antwort und deinen Aufwand.
>
> 1) f stetig im Punkt a [mm]\in[/mm] A:
> Sei [mm](x_n)_{n\in \IN}[/mm] eine Folge von Punkten aus A mit
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} x_n=a[/mm]
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n)=\lim_{n\rightarrow\infty} ||p-x_n|| =||\lim_{n\rightarrow\infty}(p-x_n)||=||p-\lim_{n\rightarrow\infty} x_n||[/mm]
> =||p-a||?f(a)
> Argument [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] f stetig auf A
>
> 2)Wie Fred angedeutet erkenne ich nicht dein Argument zu A
> kompakt.
ich war wohl schon zu müde und habe etwas von Beschränktheit gelesen,
was nirgends gestanden hat.
Spaßeshalber führe aber meinen Beweisweg auch mal zu Ende, indem Du
einfach den Sonderfall behandelst, dass [mm] $A\,$ [/mm] auch beschränkt sei. (Den
allgemeinen Fall hat Fred ja behandelt.)
Und ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") für die Verwirrung, wenn ich welche verursacht habe.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:21 Di 24.03.2015 | | Autor: | fred97 |
@ Marcel: A ist nicht als kompakt vorausgesetzt ! A ist "nur" abgeschlossen und das genügt auch.
@ Sissi: sei d:=dist(p,A). Dann gibt es eine Folge [mm] (a_n) [/mm] in A mit
[mm] $||p-a_n|| \to [/mm] d$.
Zeige nun Du, dass [mm] (a_n) [/mm] beschränkt ist.
Die Herren Bolzano und Weierstrass geben uns nun eine Teilfolge [mm] (q_k)=(a_{n_k}) [/mm] in die Hand, welche konvergiert. Sei q ihr Limes.
Warum ist q [mm] \in [/mm] A ?
Warum ist $d=||p-q||$ ?
Nun wird noch behauptet: $ q [mm] \in \partial [/mm] A$. Zu zeigen ist also: jede Umgebung von q enthält Punkte aus A und auch Punkte aus dem Komplement von A.
Sei also U eine Umgebung von q.
Nenne einen ganz konkreten Punkt $x [mm] \in \IR^n \setminus [/mm] A$, der zu U gehört.
Nenne abzählbar viele Punkte in A, die zu U gehören.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Di 24.03.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke für deine Antwort. Ich hab noch Schwiergkeiten mit dem ersten Teil:
Ich verstehe noch nicht ganz warum [mm] (a_n)_{n\in \IN} [/mm] beschränkt ist.
Ich weiß jede konvergente Folge in einen metrischen Raum ist beschränkt, aber ich weiß nicht ob [mm] (a_n) [/mm] konvergiert.
f(a):=||p-a||: Aus der Stetigkeit von f folgt [mm] f(\lim_{n\rightarrow \infty} a_n)= lim_{n\rightarrow\infty} f(a_n)=inf [/mm] f(A). Aber dadurch sehe ich leider auch nicht ob [mm] (a_n)_{n\in \IN} [/mm] beschränkt ist.
Eine Folge [mm] (a_n)_{n\in \IN} [/mm] heißt beschränkt wenn die Menge [mm] \{a_n:n\in \IN\} [/mm] beschränkt ist.
Bolzano-Weierstraß kannst du doch nur auf eine kompakte Menge verwenden? [mm] \{a_n : n \in \IN\} [/mm] soll beschränkt sein aber doch nicht unbedingt abgeschlossen und A ist abgeschlossen aber nicht unbedingt beschränkt..? Also ist die Folge doch nicht auf einer kompakten Teilmenge von [mm] \IR^n [/mm] definiert?
Wenn [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] konvergiert gegen a, dann wäre [mm] \{a_n: n \in \IN\} \cup \{a\} [/mm] beschränkt. Aber ich weiß nicht ob [mm] a_n [/mm] konvergiert.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Di 24.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Hallo,
> Danke für deine Antwort. Ich hab noch Schwiergkeiten mit
> dem ersten Teil:
>
> Ich verstehe noch nicht ganz warum [mm](a_n)_{n\in \IN}[/mm]
> beschränkt ist.
> Ich weiß jede konvergente Folge in einen metrischen Raum
> ist beschränkt, aber ich weiß nicht ob [mm](a_n)[/mm]
> konvergiert.
es gilt [mm] $\|p-a_n\| \to [/mm] d$ und
[mm] $\|a_n\|=\|a_n-p+p\| \le \|a_n-p\|+\|p\|$.
[/mm]
Das ist eine "Standardprozedur!"
Damit bist Du noch nicht fertig, aber Du wirst fertig, weil:
[mm] $\|p\| \in [0,\infty)$ [/mm] ist klar. Die Folge [mm] ${(\|a_n-p\|)}_{n=1}^\infty$ [/mm] konvergiert in [mm] $(\IR,d_{|.|})$ [/mm] und
ist folglich (nach oben) be... Ach, mach' Du weiter. 
(Nebenbei: [mm] $d_{|.|}$ [/mm] steht für die vom Betrage induzierte Metrik, also
[mm] $d_{|.|}(x,y):=|y-x|\,.$)
[/mm]
> f(a):=||p-a||: Aus der Stetigkeit von f folgt
> [mm]f(\lim_{n\rightarrow \infty} a_n)= lim_{n\rightarrow\infty} f(a_n)=inf[/mm]
> f(A). Aber dadurch sehe ich leider auch nicht ob
> [mm](a_n)_{n\in \IN}[/mm] beschränkt ist.
> Eine Folge [mm](a_n)_{n\in \IN}[/mm] heißt beschränkt wenn die
> Menge [mm]\{a_n:n\in \IN\}[/mm] beschränkt ist.
>
> Bolzano-Weierstraß kannst du doch nur auf eine kompakte
> Menge verwenden? [mm]\{a_n : n \in \IN\}[/mm] soll beschränkt sein
> aber doch nicht unbedingt abgeschlossen und A ist
> abgeschlossen aber nicht unbedingt beschränkt..?
Verwechselst Du
![[]](/images/popup.gif) Bolzano-Weierstraß
mit Heine-Borel?
Ich sehe nirgends, dass man bei Bolzano-Weierstraß Kompaktheit braucht.
> Also ist die Folge doch nicht auf einer kompakten Teilmenge von
> [mm]\IR^n[/mm] definiert?
> Wenn [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] konvergiert gegen a, dann wäre
> [mm]\{a_n: n \in \IN\} \cup \{a\}[/mm] beschränkt. Aber ich weiß
> nicht ob [mm]a_n[/mm] konvergiert.
>
> LG,
> sissi
Jetzt klarer?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Di 24.03.2015 | | Autor: | sissile |
Danke! Ich habe noch eine Frage zu dem Thema Beschränkt/Bolzano:
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig so [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN: \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] ||a_n||\le \epsilon [/mm] + ||p||
[mm] \forall x\in \{a_n: n \in \IN\} [/mm] gilt ||x|| [mm] \le Max\{a_0,a_1,..,a_N, \epsilon + ||p||\}=:M
[/mm]
Da [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \{a_n: n \in \IN\} [/mm] gilt: ||x-y|| [mm] \le [/mm] ||x|| + ||y|| [mm] \le [/mm] M+M
Ist diam( [mm] \{a_n: n \in \IN\}) \le [/mm] 2M < [mm] \infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow (a_n)_{n\in\IN} [/mm] beschränkt
Im Forster, S.37:
Satz (Bolzano-Weierstraß). Sei A eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes X und [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge von Punkten [mm] x_n \in [/mm] A. Dann gibt es eine Teilfolge [mm] (x_{n_k})_{k\in\IN} [/mm] die gegen einen Punkt a [mm] \in [/mm] A kovergiert.
Oder meint ihr das so, dass ihr die Folge [mm] (a_n) \in \IR^n [/mm] zerlegt in die einzelnen Komponentenfolgen um den Satz von Bolzano-Weierstraß im reellen zu verwenden oder wie es bei den Verallgemeinerungen für endlich dimensionale Vektorräume in Wikipedia steht. Das hatten wir nämlich explizit so nicht obwohl es natürlich ein leicht zu überlegendes Argument ist.
Dazu müsste ich aber noch beweisen, dass eine Folge in [mm] \IR^n [/mm] genau dann beschränkt ist wenn die einzelnen n reellen Komponenten beschränkt sind:
[mm] \Rightarrow) [/mm] Sei [mm] (a_k)_{k\in\IN} [/mm] beschränkt in [mm] \IR^n, [/mm] d.h. der Durchmesser ist endlich: [mm] diam((a_n)_{n\in\IN} [/mm] ):= [mm] sup\{d(a_l,a_m): a_l,a_m \in (a_k)_{k\in\IN}\}=d <\infty
[/mm]
Gilt diese Richtung überhaupt? Weil ich keinen beweis gefunden habe!
[mm] \Leftarrow) [/mm] Seien [mm] (a^{(1)}_k)_{k\in \IN},...,(a^{(n)}_k)_{k\in \IN} [/mm] beschränkte Folgen in [mm] \IR, [/mm] d.h. [mm] \exists K_1,...,K_n \in \IR_{>0} [/mm] : [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] |a^{(1)}_k| \le K_1,..,|a^{(n)}_k| \le K_n
[/mm]
Sei [mm] K:=max\{K_1,..,K_n\}
[/mm]
Für die euklidische Norm: Seien [mm] a_l=(a^{(1)}_l,..,a^{(n)}_l), a_m=(a^{(1)}_m,..,a^{(n)}_m)beliebig \in\IR^n:
[/mm]
[mm] ||a_l [/mm] - [mm] a_m|| =\sqrt{(a^{(1)}_l-a^{(1)}_m)^2+..+(a^{(n)}_l-a^{(n)}_m)^2} \le \sqrt{(2K)^2+..+(2K)^2}= \sqrt{n*(2K)^2}=2K \sqrt{n}
[/mm]
[mm] diam((a_k)_{k\in\IN}) \le [/mm] 2K [mm] \sqrt{n} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Di 24.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Danke! Ich habe noch eine Frage zu dem Thema
> Beschränkt/Bolzano:
>
> Sei [mm]\epsilon>0[/mm] beliebig so [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN: \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm]
> N: [mm]||a_n||\le \epsilon[/mm] + ||p||
> [mm]\forall x\in \{a_n: n \in \IN\}[/mm] gilt ||x|| [mm]\le Max\{a_0,a_1,..,a_N, \epsilon + ||p||\}=:M[/mm]
worum geht's Dir gerade? Dass [mm] $(a^{(k)})$ [/mm] beschränkt ist, folgt, weil
[mm] $\|a^{(k)}\| \le \|a^{(k)}-p\|+\|p\| \le T+\|p\|$
[/mm]
wobei $T [mm] \in [0,\infty)$ [/mm] eine (obere) Schranke für die reelle Folge [mm] $(\|a^{(k)}-p\|)$ [/mm] ist.
Letztere ist als (in [mm] $\IR$) [/mm] konvergente Folge beschränkt!
> Da [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \{a_n: n \in \IN\}[/mm] gilt: ||x-y|| [mm]\le[/mm]
> ||x|| + ||y|| [mm]\le[/mm] M+M
> Ist diam( [mm]\{a_n: n \in \IN\}) \le[/mm] 2M < [mm]\infty[/mm]
> [mm]\Rightarrow (a_n)_{n\in\IN}[/mm] beschränkt
Achherrje: Why so complicated? Ich wüßte auch nicht, dass "diam" hier $< [mm] \infty$ [/mm] sein
muss, wenn man dies nicht begründet!
> Im Forster, S.37:
> Satz (Bolzano-Weierstraß). Sei A eine kompakte Teilmenge
> eines metrischen Raumes X und [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge
> von Punkten [mm]x_n \in[/mm] A. Dann gibt es eine Teilfolge
> [mm](x_{n_k})_{k\in\IN}[/mm] die gegen einen Punkt a [mm]\in[/mm] A
> kovergiert.
Da fehlt das n nach dem o beim letzten Wort. Aber egal: Ist Dir nicht klar,
dass der [mm] $\IR^n$ [/mm] ein metrischer Raum ist?
Das ist übrigens nicht die Version von Bolzano-Weierstraß, die Fred benutzen
will.
> Oder meint ihr das so, dass ihr die Folge [mm](a_n) \in \IR^n[/mm]
> zerlegt in die einzelnen Komponentenfolgen um den Satz von
> Bolzano-Weierstraß im reellen zu verwenden oder wie es bei
> den Verallgemeinerungen für endlich dimensionale
> Vektorräume in Wikipedia steht.
Ja, Fred will die Version: Jede beschränkte Folge hat eine konvergente
Teilfolge. Ich müßte jetzt im Forster nachgucken, denke aber, dass es
diese Version dort auch gibt.
> Das hatten wir nämlich explizit so nicht obwohl es natürlich ein leicht zu
> überlegendes Argument ist.
> Dazu müsste ich aber noch beweisen, dass eine Folge in
> [mm]\IR^n[/mm] genau dann beschränkt ist wenn die einzelnen n
> reellen Komponenten beschränkt sind:
Kannst Du machen!
> [mm]\Rightarrow)[/mm] Sei [mm](a_k)_{k\in\IN}[/mm] beschränkt in [mm]\IR^n,[/mm]
> d.h. der Durchmesser ist endlich: [mm]diam((a_n)_{n\in\IN}[/mm] ):=
> [mm]sup\{d(a_l,a_m): a_l,a_m \in (a_k)_{k\in\IN}\}=d <\infty[/mm]
>
> Gilt diese Richtung überhaupt? Weil ich keinen beweis
> gefunden habe!
>
> [mm]\Leftarrow)[/mm] Seien [mm](a^{(1)}_k)_{k\in \IN},...,(a^{(n)}_k)_{k\in \IN}[/mm]
> beschränkte Folgen in [mm]\IR,[/mm] d.h. [mm]\exists K_1,...,K_n \in \IR_{>0}[/mm]
> : [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN[/mm] gilt [mm]|a^{(1)}_k| \le K_1,..,|a^{(n)}_k| \le K_n[/mm]
>
> Sei [mm]K:=max\{K_1,..,K_n\}[/mm]
> Für die euklidische Norm: Seien
> [mm]a_l=(a^{(1)}_l,..,a^{(n)}_l), a_m=(a^{(1)}_m,..,a^{(n)}_m)beliebig \in\IR^n:[/mm]
>
> [mm]||a_l[/mm] - [mm]a_m|| =\sqrt{(a^{(1)}_l-a^{(1)}_m)^2+..+(a^{(n)}_l-a^{(n)}_m)^2} \le \sqrt{(2K)^2+..+(2K)^2}= \sqrt{n*(2K)^2}=2K \sqrt{n}[/mm]
>
> [mm]diam((a_k)_{k\in\IN}) \le[/mm] 2K [mm]\sqrt{n}[/mm] < [mm]\infty[/mm]
>
Du arbeitest hier immer mit dem topologisch(eren) Begriff des Durchmessers.
Kann man sicher auch machen, aber im euklidischen Vektorraum [mm] $\IR^n$ [/mm] (da gibt es
auch noch eine Verallgemeinerung, die mir gerade nicht einfallen will; irgendein
Begriff mit *zusammenziehbar* bei Vektorräumen, glaube ich) sollte das
ganze Zeug äquivalent sein zu:
Eine Menge $M [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] ist genau dann beschränkt, wenn
[mm] $\forall [/mm] m [mm] \in M:\;\; \|m\| \le [/mm] C$ für eine Zahl $C > 0$
ist. (Dabei ist [mm] $\|x\|:=\sqrt{\sum_{m=1}^n {x_m}^2}$.)
[/mm]
Nun beweise ich damit, dass eine Folge [mm] $(a^{(k)}) \in (\IR^n)^{\IN}$ [/mm] genau dann beschränkt
ist, wenn jede Komponentenfolge von [mm] $(a^{(k)})$ [/mm] dies ist:
Ist [mm] $\|a^{(k)}\| \le [/mm] C$ für alle [mm] $k\,,$ [/mm] dann folgt wegen
[mm] $|a^{(k)}_j| \le \|a^{(k)}\|$ [/mm] (warum?)
für die [mm] $j\,$-te [/mm] Komponentenfolge von [mm] $(a^{(k)})$ [/mm] deren Beschränktheit. (Insbesondere
ist [mm] $(|a^{(k)}_j|)_k$ [/mm] auch durch [mm] $C\,$ [/mm] beschränkt.)
Sind umgekehrt [mm] $C_1,...,C_n [/mm] > 0$ Schranken für [mm] $(|a^{(k)}_1|)$ [/mm] bis [mm] $(|a^{(k)}_n|)$, [/mm] so folgt
[mm] $\|a^{(k)}\|=\sqrt{\sum_{m=1}^n {a^{(k)}_m}^2} \le \sqrt{\sum_{m=1}^n {C_m}^2}$
[/mm]
für alle [mm] $k\,.$
[/mm]
P.S. Wenn Du obige Version von Bolzano-Weierstraß anwenden willst: Wir
haben schon gesehen, dass die Folge [mm] $(a^{(k)}) \in A^{\IN}$ [/mm] beschränkt ist. Sei
$S > 0$ eine obere Schranke für [mm] $\{\|a^{(k)}\|:\;\;k \in \IN\}$. [/mm] Betrachte nun
$K:=A [mm] \cap \text{cl}(U_S(0))$ [/mm] (die 0 ist die des [mm] $\IR^n$).
[/mm]
Dann ist $K [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] beschränkt (klar, oder?) und abgeschlossen,
weil..., also kompakt. Nun ist aber [mm] $\{a^{(k)}:\;\; k \in \IN\} \subseteq [/mm] K$, also ist [mm] $(a^{(k)})$ [/mm] eine Folge
im Kompaktum $K [mm] \subseteq \IR^n$.
[/mm]
P.S. Sorry, aber im [mm] $\IR^n$ [/mm] schreibe ich den "Stellenindex eines Folgenglieds"
oben hin, und die Komponente unten.
P.P.S. Warum Du nun "Folge beschränkt genau dann, wenn jede Komponentenfolge
dies ist" brauchtest, weiß ich gerade nicht. Wenn Du den Satz, wie Fred
ihn gerne benutzt, so nicht benutzen kannst/willst, dann finde ich es einfacher,
aus der Beschränktheit der Folge [mm] $(a^{(k)})$ [/mm] zu folgern, dass diese Folge (wegen
der Abgeschlossenheit von [mm] $A\,$) [/mm] auch als Folge in einem Kompaktum
aufgefasst werden kann.
Aber Dein Weg (Beschränktheit einer Folge genau dann, wenn jede
Komponentenfolge dies ist) benutzt man gerne, wenn man nur Bolzano-
Weierstraß im Reellen hat, um den dann direkt ins Komplexe zu übertragen.
Wenn Du mal guckst: Das ist dann aber nichts anderes als ein Übergang
von [mm] $\IR^1$ [/mm] in den [mm] $\IR^2$. [/mm] Und die "Ideen" dabei kann man in einem
Induktionsbeweis verwenden, so dass man Bolzano-Weierstraß in jedem
[mm] $\IR^n$ [/mm] verwenden kann.
Kleiner Tipp: Man braucht dabei aber, nachdem man eine erste Teilfolge
gewählt hat, dann auch nochmal eine Teilfolge dieser Teilfolge. Aber das
wird Dir klarer werden, wenn Du den Beweis an entsprechender Stelle
siehst.
Übrigens: Ich habe oben [mm] $\IR^\red{n}$ [/mm] geschrieben. Daher sind Notationen wie
[mm] $(a_n)$ [/mm] dann schlecht, weil der Buchstabe [mm] $n\,$ [/mm] dann mehrfach in verschiedenen
Bedeutungen verwendet wird. Wundere Dich also nicht wegen der
plötzlichen Notation [mm] $a^{(k)}$ [/mm] etc.. Ich habe versucht, alles dahingehend
zu korrigieren.
(Man soll *Parameter* also nicht noch zusätzlich als Laufvariablen
verwenden!)
Übrigens kann es auch gut sein, dass an irgendeiner Stelle auch noch
[mm] $a_k$ [/mm] statt [mm] $a^{(k)}$ [/mm] steht. Vermutlich wirst Du solche Schreibfehler dann aber
selbst korrigieren oder richtig lesen können. I hope so.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:19 Di 24.03.2015 | | Autor: | sissile |
Danke, ich lerne viel dazu in diesem Thread !!
Wir haben auch die Beschränktheit nur in metrischen Räumen definiert:
Sei (X,d) ein metrischer Raum
diam A:= [mm] sup\{d(x,y): x,y \in A\} [/mm] Durchmesser von A
A ist beschränkt genau dann wenn diam A < [mm] \infty
[/mm]
Dann hatten wir den Satz: A beschränkt [mm] \gdw [/mm] Für a [mm] \in [/mm] X beliebig aber fest [mm] \exists [/mm] R>0: A [mm] \subseteq B_R [/mm] (a)
> Eine Menge $ M [mm] \subseteq \IR^n [/mm] $ ist genau dann beschränkt, wenn
> $ [mm] \forall [/mm] m [mm] \in M:\;\; \|m\| \le [/mm] C $ für eine Zahl C > 0
> ist. (Dabei ist $ [mm] \|x\|:=\sqrt{\sum_{m=1}^n {x_m}^2} [/mm] $.)
Ich habe diese Definition nirgends in Skript, Buch oder sonstwo deshalb hab ich immer mit den Durchmesser argumentieren wollen.
Sonst müsste ich vorher zeigen, dass im Fall [mm] X=\IR^n [/mm] deine Definition mit der anderen Definition übereinstimmt:
Eine Menge $ M [mm] \subseteq \IR^n [/mm] $ ist bezüglich deiner Definition beschränkt:||x-y|| [mm] \le [/mm] ||x||+||y|| [mm] \le [/mm] 2C [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR^n
[/mm]
Daraus folgt: [mm] sup_{x,y\in M} ||x-y||\le [/mm] 2C , d.h. diam(M) [mm] \le [/mm] 2C
D.h. der Durchmesser von M ist endlich
Eine Menge M [mm] \subseteq \IR^n [/mm] sei bezüglich meiner Definition beschränkt. D.h. [mm] sup_{x,y\in M} ||x-y||<\infty.
[/mm]
Nenne [mm] sup_{x,y\in M} [/mm] ||x-y||:=d, d.h. [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] M gilt ||x-y|| [mm] \le [/mm] d [mm] \Rightarrow [/mm] ||x|| [mm] \le [/mm] d + ||y||
[mm] C:=Max\{d+||y||\} [/mm] mit irgendeinen y [mm] \in \IR^n
[/mm]
Warum soll mir nicht klar sein, dass [mm] \IR^n [/mm] ein metrischer Raum ist?
> Achherrje: Why so complicated? Ich wüßte auch nicht, dass "diam" hier $ < [mm] \infty [/mm] $ sein
> muss, wenn man dies nicht begründet!
Wenn $ [mm] \forall [/mm] $ x,y $ [mm] \in \{a_n: n \in \IN\} [/mm] $ gilt: ||x-y|| [mm] \le [/mm] 2M mit M einer fixen Zahl, die ich im vorigen Post definiert habe.
Dann ist auch das [mm] sup_{x ,y \in \{a_n: n \in \IN\}} [/mm] ||x-y|| [mm] \le [/mm] 2M und daher [mm] diam(\{a_n: n \in \IN\}) \le [/mm] 2M, d.h. der Durchmesser ist endlich.
Was ist da nicht verständlich? Ich hatte deine obige Definition (mit der Norm) noch nicht vor Augen, deshalb habe ich es über den Durchmesser gemacht. Denn eine Folge ist beschränkt nach Definition genau dann wenn die zugrundeliegende Menge einen endlichen Durchmesser hat.
> P.S. Wenn Du obige Version von Bolzano-Weierstraß anwenden willst: Wir
> haben schon gesehen, dass die Folge $ [mm] (a^{(k)}) \in A^{\IN} [/mm] $ beschränkt ist. Sei
> S > 0 eine obere Schranke für $ [mm] \{\|a^{(k)}\|:\;\;k \in \IN\} [/mm] $. Betrachte nun
> $ K:=A [mm] \cap \text{cl}(U_S(0)) [/mm] $ (die 0 ist die des $ [mm] \IR^n [/mm] $).
> Dann ist $ K [mm] \subseteq \IR^n [/mm] $ beschränkt (klar, oder?) und abgeschlossen,
> weil..., also kompakt. Nun ist aber $ [mm] \{a^{(k)}:\;\; k \in \IN\} \subseteq [/mm] K > $, also ist $ [mm] (a^{(k)}) [/mm] $ eine Folge
> im Kompaktum $ K [mm] \subseteq \IR^n [/mm] $.
K ist als Durchschnitt zweier abgeschlossener Mengen abgeschlossen.
Und [mm] diam(\overline{B_S} \cap [/mm] A) [mm] \le diam(\overline{B_S}) [/mm] = 2S < [mm] \infty
[/mm]
Oder eben: x [mm] \in \overline{B_S}(0) \cap [/mm] A [mm] \subseteq \overline{B_S}(0) \Rightarrow ||x-0||\le S\Rightarrow ||x||\le [/mm] S
> P.S. Sorry, aber im $ [mm] \IR^n [/mm] $ schreibe ich den "Stellenindex eines Folgenglieds"
> oben hin, und die Komponente unten.
Ich persönlich hätte es andersrum gewählt, sodass der Stellenindex des FG unten steht und die Komponente oben, deshalb muss ich oft etwas umdenken. Aber trotzdem war alles sehr gut verständlich. Ist denn deine Schreibweise Konvention?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Mi 25.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Danke, ich lerne viel dazu in diesem Thread !!
>
> Wir haben auch die Beschränktheit nur in metrischen
> Räumen definiert:
>
> Sei (X,d) ein metrischer Raum
> diam A:= [mm]sup\{d(x,y): x,y \in A\}[/mm] Durchmesser von A
> A ist beschränkt genau dann wenn diam A < [mm]\infty[/mm]
okay. Dir ist klar, was *geometrisch* der Durchmesser ist? Quasi ein Ersatz
für "der maximale Abstand zweier Punkte aus der Menge A". Ersatz, weil
man halt nicht immer ein Maximum in einer Menge hat.
> Dann hatten wir den Satz: A beschränkt [mm]\gdw[/mm] Für a [mm]\in[/mm] X
Steht dort $a [mm] \in [/mm] X$ oder $a [mm] \in [/mm] A$? Ich tippe auf letzteres...
> beliebig aber fest [mm]\exists[/mm] R>0: A [mm]\subseteq B_R[/mm] (a)
Das bedeutet, dass Beschränktheit nichts anderes besagt, als dass man
um jeden Punkt eine offene Kugel legen kann, so dass diese schon ganz
A enthält.
(Dort steht ja eigentlich [mm] $\forall [/mm] a [mm] \in A:\; \exists [/mm] R=R(a) > 0$ mit $A [mm] \subseteq B_R(a).$)
[/mm]
Gilt dieser Satz nicht genauso, wenn man sagt: Es gibt ein [mm] $a_0 \in [/mm] A$ so, dass
es zu diesem [mm] $a_0$ [/mm] ein [mm] $R_0 [/mm] > 0$ mit $A [mm] \subseteq B_{R_0}(a_0)$ [/mm] gibt? Das
sollte Beschränktheit ebenso charakterisieren. (Zeige einfach, dass diese
Aussage zu Deiner letzten Charakterisierung äquivalent ist.)
Wobei ich gerade bei Wiki nachgelesen habe, dass dort nicht notwendig
[mm] $a_0 \in [/mm] A$ sein muss, sondern [mm] $a_0$ [/mm] muss nur ein Element des metrischen
Raums sein. Mir ist gerade nicht so ganz klar, ob man dort nicht einfach auch
[mm] $a_0 \in [/mm] A$ fordern kann; vielleicht kann dazu ja noch jemand was sagen?
Und jetzt dazu, dass die letzte Aussage im [mm] $\IR^n$ [/mm] gleichwertig zu dem, was ich
geschrieben habe, ist:
Für eine offene Kugel im [mm] $\IR^n$ [/mm] findest Du leicht eine große offene Kugel um
den Nullpunkt, die diese ganz enthält. Du brauchst nur "Abstand des Mittelpunkts
zum Nullpunkt + Radius" der "Raumkugel" als Radius für die große offene
Kugel um die 0 zu wählen (oder einen noch größeren Radius). Mach' Dir
das mal im [mm] $\IR^2$ [/mm] klar.
Und wenn ich weiß, dass eine Menge ganz in einer großen offenen Kugel
mit Mittelpunkt=Nullpunkt liegt, dann verschlechtere ich die "Kugelenthalteigenschaft"
nicht, wenn ich den Radius dieser Kugel mitnehme, aber als Mittelpunkt einen
Punkt der Menge wähle.
Damit sollte dann der Satz
> Eine Menge $ M [mm] \subseteq \IR^n [/mm] $ ist genau dann beschränkt, wenn
> $ [mm] \forall [/mm] m [mm] \in M:\;\; \|m\| \le [/mm] C $ für eine Zahl C > 0
> ist.
klar werden, oder?
Zu den restlichen Fragen komme ich eventuell später, vielleicht befasst sich
aber auch noch jemand anderes damit?!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Do 26.03.2015 | | Autor: | sissile |
Achso so wird es ganz easy:
Wir hatten die Proposition:
Es sei (X,d) ein metrischer Raum.
Für A [mm] \subseteq [/mm] X gilt: A beschränkt [mm] \gdw \exists [/mm] r>0 [mm] \exists [/mm] z [mm] \in [/mm] X: [mm] A\subseteq B_r(z)
[/mm]
(Und ja z [mm] \in [/mm] X ist kein Druckfehler meinerseits)
In einer andere AUfgabe habe ich gezeigt:
A beschränkt [mm] \gdw \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] X [mm] \exists [/mm] s>0: [mm] A\subseteq B_s [/mm] (z)
Wir wollen zeigen für [mm] (\IR^n, [/mm] ||.||), [mm] A\subseteq \IR^n:
[/mm]
A beschränkt [mm] \gdw \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A: ||a|| le C für ein C>0
Beweis:
[mm] \Rightarrow [/mm] ) Es gilt [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] X [mm] \exists [/mm] s>0: [mm] A\subseteq B_s [/mm] (z), insbesondere für [mm] z_0=0 \in \IR^n [/mm] : [mm] \exists r_0>0: A\subseteq B_{r_0} [/mm] (0), d.h. ich wähle [mm] C:=r_0
[/mm]
[mm] \Leftarrow [/mm] ) Die Voraussetzung bedeutet, dass A [mm] \subseteq B_C [/mm] (0), was gleichbedeutend ist mir der Beschränktheit laut Proposition.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Do 26.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Achso so wird es ganz easy:
>
> Wir hatten die Proposition:
> Es sei (X,d) ein metrischer Raum.
> Für A [mm]\subseteq[/mm] X gilt: A beschränkt [mm]\gdw \exists[/mm] r>0
> [mm]\exists[/mm] z [mm]\in[/mm] X: [mm]A\subseteq B_r(z)[/mm]
> (Und ja z [mm]\in[/mm] X ist
> kein Druckfehler meinerseits)
>
> In einer andere AUfgabe habe ich gezeigt:
> A beschränkt [mm]\gdw \forall[/mm] z [mm]\in[/mm] X [mm]\exists[/mm] s>0: [mm]A\subseteq B_s[/mm]
> (z)
>
> Wir wollen zeigen für [mm](\IR^n,[/mm] ||.||), [mm]A\subseteq \IR^n:[/mm]
> A
> beschränkt [mm]\gdw \forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A: ||a|| le C für ein C>0
> Beweis:
> [mm]\Rightarrow[/mm] ) Es gilt [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] X [mm]\exists[/mm] s>0:
> [mm]A\subseteq B_s[/mm] (z), insbesondere für [mm]z_0=0 \in \IR^n[/mm] :
> [mm]\exists r_0>0: A\subseteq B_{r_0}[/mm] (0), d.h. ich wähle
> [mm]C:=r_0[/mm]
ja - wobei das keine notwendige Wahl ist; Du hättest bspw. auch [mm] $C:=2r_0$
[/mm]
wählen können oder oder oder...
> [mm]\Leftarrow[/mm] ) Die Voraussetzung bedeutet, dass A [mm]\subseteq B_C[/mm]
> (0), was gleichbedeutend ist mir der Beschränktheit laut
> Proposition.
Ja, mit der erwähnten Proposition ist das dann trivial. Aber auch ohne sie
wäre es nicht schwer.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 26.03.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Di 24.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> @ Marcel: A ist nicht als kompakt vorausgesetzt ! A ist
> "nur" abgeschlossen und das genügt auch.
ah - ich habe in Gedanken irgendwie auch die Beschränktheit dazugedacht.
Warum, weiß ich nicht. Aber immerhin kann man diesen Sonderfall so
beweisen. ^^
P.S. Danke für's aufpassen. 
Gruß,
Marcle
>
> @ Sissi: sei d:=dist(p,A). Dann gibt es eine Folge [mm](a_n)[/mm]
> in A mit
>
>
> [mm]||p-a_n|| \to d[/mm].
>
> Zeige nun Du, dass [mm](a_n)[/mm] beschränkt ist.
>
> Die Herren Bolzano und Weierstrass geben uns nun eine
> Teilfolge [mm](q_k)=(a_{n_k})[/mm] in die Hand, welche konvergiert.
> Sei q ihr Limes.
>
> Warum ist q [mm]\in[/mm] A ?
>
> Warum ist [mm]d=||p-q||[/mm] ?
>
>
> Nun wird noch behauptet: [mm]q \in \partial A[/mm]. Zu zeigen ist
> also: jede Umgebung von q enthält Punkte aus A und auch
> Punkte aus dem Komplement von A.
>
> Sei also U eine Umgebung von q.
>
> Nenne einen ganz konkreten Punkt [mm]x \in \IR^n \setminus A[/mm],
> der zu U gehört.
>
> Nenne abzählbar viele Punkte in A, die zu U gehören.
>
> FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:38 Di 24.03.2015 | | Autor: | hippias |
Man koennte die Kompaktheit aber oBdA voraussetzen: Man nehme ein [mm] $a\in [/mm] A$ und sei $d:= ||p-a||$. Das Infimum des Abstandes von $p$ zu $A$ muss dann in $A':= [mm] A\cap \overline{B_{d+1}(p)}$ [/mm] zu finden sein. $A'$ ist aber kompakt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Di 24.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo hippias,
> Man koennte die Kompaktheit aber oBdA voraussetzen: Man
> nehme ein [mm]a\in A[/mm] und sei [mm]d:= ||p-a||[/mm]. Das Infimum des
> Abstandes von [mm]p[/mm] zu [mm]A[/mm] muss dann in [mm]A':= A\cap \overline{B_{d+1}(p)}[/mm]
> zu finden sein. [mm]A'[/mm] ist aber kompakt.
schön, so kann man meinen Beweis "retten". (Ich sehe jedenfalls keinen
Denkfehler, die Kompaktheit von A' folgt mit Heine-Borel. Dass A' nicht leer
sein kann, nach Definition von dist(p,A).)
Ehrlich gesagt habe ich aber durchaus einfach die Beschränktheit *dazugedacht*,
von daher war Freds Kritik gerechtfertigt.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Di 24.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> @ Marcel: A ist nicht als kompakt vorausgesetzt ! A ist
> "nur" abgeschlossen und das genügt auch.
>
>
> @ Sissi: sei d:=dist(p,A). Dann gibt es eine Folge [mm](a_n)[/mm]
> in A mit
>
>
> [mm]||p-a_n|| \to d[/mm].
>
> Zeige nun Du, dass [mm](a_n)[/mm] beschränkt ist.
>
> Die Herren Bolzano und Weierstrass geben uns nun eine
> Teilfolge [mm](q_k)=(a_{n_k})[/mm] in die Hand, welche konvergiert.
> Sei q ihr Limes.
>
> Warum ist q [mm]\in[/mm] A ?
>
> Warum ist [mm]d=||p-q||[/mm] ?
>
>
> Nun wird noch behauptet: [mm]q \in \partial A[/mm].
nur für diesen Teil der Frage mal rein interessenmäßig: Geht meine
Argumentation schief, wenn [mm] $A\,$ [/mm] unbeschränkt ist? Ich glaube eigentlich
nicht. Oder übersehe ich etwas?
Die Idee ist: Wenn q kein Randpunkt ist, dann kann ich eine geschlossene
Kugel um q finden, die gänzlich in A enthalten ist. Die Strecke mit den
Endpunkten q und p durchstößt diese Kugel (ich habe den Durchstoßpunkt
konkret definiert, siehe meine andere Antwort). Dieser Durchstoßpunkt ist
auch noch Element von A und liegt aber näher an p, als q dies tut. Widerspruch.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Di 24.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> @ Marcel: A ist nicht als kompakt vorausgesetzt ! A ist
> "nur" abgeschlossen und das genügt auch.
hippias hatte dahingehend eine gute Idee, siehe seine Mitteilung. Ich hoffe,
ich übersehe da nichts.
(Natürlich ist Dein Einwand gerechtfertigt.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Do 26.03.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
An einer Stelle hackt es noch. Die bisherige Zusammenfassung:
[mm] f:A\rightarrow [0,\infty)
[/mm]
f(a):=||p-a||
Es gibt eine Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] in A mit [mm] f(a_n) \rightarrow [/mm] inf f(A) (Konvergenz in [mm] \IR)
[/mm]
D.h. [mm] ||p-a_n||\rightarrow [/mm] dist(p,A) [mm] (n\rightarrow \infty)
[/mm]
[mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] ist beschränkt:
[mm] ||a_n||\le ||a_n [/mm] - p|| + [mm] ||p||\le \epsilon [/mm] + ||p|| =: C [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
mit [mm] \epsilon \in [0,\infty) [/mm] da [mm] (||p-a_n||)_{n\in\IN} [/mm] als konvergente Folge in [mm] \IR [/mm] beschränkt ist
Jede der j-ten Komponentenfolgen von [mm] a_n [/mm] in [mm] \IR [/mm] ist beschränkt.(Achtung ich verwende eine andere Notation)
[mm] ||a_k ||\le [/mm] C [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] |a_k^{(j)}|\le \sqrt{(a_k^{(1)})^2+..+(a_k^{(n)})^2} \iff |a_k^{(j)}|^2 \le (a_k^{(1)})^2+..+(a_k^{(n)})^2 [/mm] wahre Aussage
[mm] \Rightarrow |a_k^{(j)}| \le [/mm] C [mm] \forall 1\le [/mm] j [mm] \le [/mm] n
Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge in [mm] \IR
[/mm]
Fasse in der Teilfolge [mm] (a_{l_k})_{k\in\IN} [/mm] alle zusammen, sodass [mm] a_{l_k}=(a_{l_k}^{(1)},...,a_{l_k}^{(n)})
[/mm]
Nach Proposition in Vorlesung konvergiert [mm] (a_{l_k})_{k\in\IN} [/mm] genau dann wenn die einzelnen Komponenten konvergieren, was wir gegeben haben.
[mm] a_{l_k} \rightarrow [/mm] q [mm] (k\rightarrow \infty)
[/mm]
Da A abgeschlossen ist ist q [mm] \in [/mm] A als Grenzwert einer konvergenten Folge [mm] (a_{l_k})_{k\in \IN} [/mm] in A.
dist(p,A) = [mm] inf\{||p-a||:a\in A\} \le [/mm] ||p-q|| da q [mm] \in [/mm] A
Die andere Richtung stockt noch etwas:
Versuch war: ||p-q|| [mm] \le ||p-a_{l_k}|| [/mm] + [mm] ||a_{l_k} [/mm] - [mm] q||\le ||p-a_{l_k}|| [/mm] + [mm] \epsilon
[/mm]
> Nun wird noch behauptet: $ q [mm] \in \partial [/mm] A $. Zu zeigen ist also: jede Umgebung von q enthält Punkte aus A und auch Punkte aus dem Komplement von A.
Sei also U eine Umgebung von q.
A [mm] \cap [/mm] U [mm] \not= \emptyset [/mm] da [mm] q\in [/mm] U, q [mm] \in [/mm] A
Noch zuzeigen: [mm] X\setminus [/mm] A [mm] \cap [/mm] U [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Angenommen der Durchschnitt wäre leer, Da [mm] X\setminus [/mm] A offen ist folgt für alle x [mm] \in [/mm] X [mm] \setminus [/mm] A : [mm] \exists \epsilon_2>0: B_{\epsilon_2} [/mm] (x) [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \setminus [/mm] A.
Da X [mm] \setminus [/mm] A [mm] \cap [/mm] U = [mm] \emptyset [/mm] folgt [mm] B_{\epsilon} [/mm] (x) [mm] \subseteq X\setminus [/mm] U
Da U eine Umgebung um q ist [mm] \exists \epsilon_1: [/mm] q [mm] \in B_{\epsilon_1} [/mm] (q) [mm] \subseteq [/mm] U
Schaue ich mir nun x:= q + [mm] \frac{\epsilon_1}{2} [/mm] * [mm] \frac{p-q}{||p-q||} [/mm] an so ist x [mm] \in B_{\epsilon_2} [/mm] (x), x [mm] \in B_{\epsilon_1} [/mm] (q) da ||x-q|| = [mm] \frac{\epsilon_1}{2} [/mm] also hab ich ein Widerspruch.
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Sa 28.03.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile!
(Meine Antwort bezieht sich nur auf diese Frage; ich habe nicht den gesamten Thread studiert.)
Wir definieren
> [mm]f:A\rightarrow [0,\infty)[/mm]
durch
> f(a):=||p-a||
>
> Es gibt eine Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] in A mit [mm]f(a_n) \rightarrow[/mm]
> inf f(A) (Konvergenz in [mm]\IR)[/mm]
(Hier geht ein, dass mit A auch f(A) nichtleer ist.)
> D.h.
es gilt
> [mm]||p-a_n||\rightarrow[/mm] dist(p,A)
für
> [mm](n\rightarrow \infty)[/mm]
Du solltest hier und im Folgenden k statt n schreiben, denn n ist in der Aufgabenstellung schon vergeben.
Ich ignoriere diese Problematik im Folgenden der Einfachheit halber.
> [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] ist beschränkt:
> [mm]||a_n||\le ||a_n[/mm] - p|| + [mm]||p||\le \epsilon[/mm] + ||p|| =: C
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> mit [mm]\epsilon \in [0,\infty)[/mm]
Für was für ein [mm] $\epsilon>0$ [/mm] gilt dies?
Ich würde den Nachweis der Beschränktheit von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] so notieren:
> da
> [mm](||p-a_n||)_{n\in\IN}[/mm] als konvergente Folge in [mm]\IR[/mm]
> beschränkt ist
existiert ein [mm] $K\in\IR$ [/mm] mit [mm] $||p-a_n||\le [/mm] K$ für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Mit $C:=K+||p||$ gilt somit für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
[mm]||a_n||\le ||a_n[/mm] - p|| + [mm]||p||\le K[/mm] + ||p|| = C.
Behauptung:
> Jede der j-ten Komponentenfolgen von [mm]a_n[/mm] in [mm]\IR[/mm] ist
> beschränkt.(Achtung ich verwende eine andere Notation)
Beweis:
Wir hatten bereits
> [mm]||a_k ||\le[/mm] C [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN[/mm].
Seien für jedes [mm] $k\in\IN$ [/mm] die Komponenten von [mm] $a_k$ [/mm] gegeben durch [mm] $a_k^1,\ldots,a_k^n$, [/mm] also [mm] $a_k=(a_k^1,\ldots,a_k^n)$.
[/mm]
Für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] und [mm] $j=1,\ldots,n$ [/mm] gilt
> [mm]|a_k^{(j)}|\le \sqrt{(a_k^{(1)})^2+..+(a_k^{(n)})^2} \iff [/mm]
denn
> [mm]|a_k^{(j)}|^2 \le (a_k^{(1)})^2+..+(a_k^{(n)})^2[/mm]
ist eine
> wahre Aussage.
Zusammengenommen erhalten wir somit (für jedes [mm] $j=1,\ldots,n$), [/mm] dass
> [mm]\Rightarrow |a_k^{(j)}| \le[/mm] C
für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] gilt.
Also ist die j-te Komponentenfolge [mm] $(a_k^j)_{k\in\IN}$ [/mm] tatsächlich beschränkt.
> Jede beschränkte Folge
reeller Zahlen
> hat eine konvergente Teilfolge in
> [mm]\IR[/mm]
Ja (Bolzano-Weierstraß).
> Fasse in der Teilfolge [mm](a_{l_k})_{k\in\IN}[/mm] alle zusammen,
> sodass [mm]a_{l_k}=(a_{l_k}^{(1)},...,a_{l_k}^{(n)})[/mm]
Das verstehe ich nicht. Wie kommen die [mm] $l_k$ [/mm] zustande?
Du müsstest wohl bei dieser Argumentation nacheinander eine Teilfolge der Folge [mm] $(a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] wählen, deren erste Komponente konvergiert, dann eine Teilfolge dieser Teilfolge wählen, deren zweite Komponente konvergiert, dann davon wieder eine Teilfolge wählen, so dass die dritte Komponente konvergiert, usw. bis zur n-ten Komponente.
> Nach Proposition in Vorlesung konvergiert
> [mm](a_{l_k})_{k\in\IN}[/mm] genau dann wenn die einzelnen
> Komponenten konvergieren, was wir gegeben haben.
Es existiert also ein [mm] $q\in\IR^n$ [/mm] mit
> [mm]a_{l_k} \rightarrow[/mm] q [mm](k\rightarrow \infty)[/mm]
> Da A abgeschlossen ist ist q [mm]\in[/mm] A als Grenzwert einer
> konvergenten Folge [mm](a_{l_k})_{k\in \IN}[/mm] in A.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Es gilt
> dist(p,A) = [mm]inf\{||p-a||:a\in A\} \le[/mm] ||p-q|| da q [mm]\in[/mm] A
> Die andere Richtung stockt noch etwas:
> Versuch war: ||p-q|| [mm]\le ||p-a_{l_k}||[/mm] + [mm]||a_{l_k}[/mm] -
> [mm]q||\le ||p-a_{l_k}||[/mm] + [mm]\epsilon[/mm]
Es genügt [mm] $||p-q||\le dist(p,A)+\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] zu zeigen.
Sei also [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] vorgegeben.
Da [mm] $(a_{l_k})_{k\in\IN}$ [/mm] gegen $q$ konvergiert, existiert ein [mm] $K_1\in\IN$ [/mm] mit
[mm] $||a_{l_k}-q||<\frac{\varepsilon}{2}$
[/mm]
für alle [mm] $k\ge K_1$.
[/mm]
Da mit [mm] $(f(a_k))_{k\in\IN}$ [/mm] auch die Teilfolge [mm] $(f(a_{l_k}))_{k\in\IN}$ [/mm] gegen $d(p,A)$ konvergiert, existiert ein [mm] $K_2\in\IN$ [/mm] mit
[mm] $|f(a_{l_k})-dist(p,A)|<\frac{\varepsilon}{2}$
[/mm]
für alle [mm] $k\ge K_2$.
[/mm]
Dann gilt mit [mm] $k:=\max(K_1,K_2)$ [/mm] die Ungleichungskette
[mm] $||p-q||\le||p-a_{l_k}||+||a_{l_k}-q||=f(a_{l_k})+||a_{l_k}-q||<(dist(p,A)+\frac{\varepsilon}{2})+\frac{\varepsilon}{2}=dist(p,A)+\varepsilon$.
[/mm]
> > Nun wird noch behauptet: [mm]q \in \partial A [/mm]. Zu zeigen ist
> also: jede Umgebung von q enthält Punkte aus A und auch
> Punkte aus dem Komplement von A.
>
> Sei also U eine Umgebung von q.
Es gilt
> A [mm]\cap[/mm] U [mm]\not= \emptyset[/mm] da [mm]q\in[/mm] U, q [mm]\in[/mm] A
> Noch zuzeigen: [mm]X\setminus[/mm] A [mm]\cap[/mm] U [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> Angenommen der Durchschnitt wäre leer,
> Da [mm]X\setminus[/mm] A
> offen ist folgt für alle x [mm]\in[/mm] X [mm]\setminus[/mm] A : [mm]\exists \epsilon_2>0: B_{\epsilon_2}[/mm]
> (x) [mm]\subseteq[/mm] X [mm]\setminus[/mm] A.
(Beachte, dass [mm] $\epsilon_2$ [/mm] von x abhängt!)
> Da X [mm]\setminus[/mm] A [mm]\cap[/mm] U = [mm]\emptyset[/mm] folgt [mm]B_{\epsilon}[/mm] (x)
> [mm]\subseteq X\setminus[/mm] U
Ja.
> Da U eine Umgebung um q ist [mm]\exists \epsilon_1:[/mm] q [mm]\in B_{\epsilon_1}[/mm]
> (q) [mm]\subseteq[/mm] U
> Schaue ich mir nun x:= q + [mm]\frac{\epsilon_1}{2}[/mm] *
> [mm]\frac{p-q}{||p-q||}[/mm] an
(Beachte: Wegen [mm] $p\notin [/mm] A$ und [mm] $q\in [/mm] A$ gilt [mm] $p\not=q$ [/mm] und damit [mm] $||p-q||\not=0$.)
[/mm]
> so ist x [mm]\in B_{\epsilon_2}[/mm] (x),
Welches der i.A. vielen [mm] $\varepsilon_2$ [/mm] möchtest du hier betrachten?
Beachte, dass wir nicht wissen, ob überhaupt [mm] $x\in X\setminus [/mm] A$ für das von dir gerade gewählte x gilt.
Mögliche Abhilfe: Verkleinere gegebenenfalls [mm] $\varepsilon_1$, [/mm] so dass [mm] $0<\varepsilon_1<||p-q||$ [/mm] gilt.
Wenn du dann x:= q + [mm]\frac{\epsilon_1}{2}[/mm] * [mm]\frac{p-q}{||p-q||}[/mm] wählst, kannst (und solltest) du [mm] $x\notin [/mm] A$ zeigen.
Zeige dazu $||p-x||<dist(p,A)$.
> x
> [mm]\in B_{\epsilon_1}[/mm] (q) da ||x-q|| = [mm]\frac{\epsilon_1}{2}[/mm]
Ja.
> also hab ich ein Widerspruch.
Manches ließe sich noch etwas einfacher argumentieren.
Aber deine grundsätzliche Vorgehensweise ist völlig richtig.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:57 Mo 30.03.2015 | | Autor: | sissile |
Vielen lieben Dank für deine Antwort.
> Welches der i.A. vielen $ [mm] \varepsilon_2 [/mm] $ möchtest du hier betrachten?
> Beachte, dass wir nicht wissen, ob überhaupt $ [mm] x\in X\setminus [/mm] A $ für das von dir gerade gewählte x gilt.
> Mögliche Abhilfe: Verkleinere gegebenenfalls $ [mm] \varepsilon_1 [/mm] $, so dass $ [mm] 0<\varepsilon_1<||p-q|| [/mm] $ gilt.
> Wenn du dann x:= q + $ [mm] \frac{\epsilon_1}{2} [/mm] $ * $ [mm] \frac{p-q}{||p-q||} [/mm] > $ wählst, kannst (und solltest) du $ [mm] x\notin [/mm] A $ zeigen.
> Zeige dazu $ ||p-x||<dist(p,A) $.
Ja das stimmt, dass habe ich vergessen zu überlegen.
Aber [mm] ||p-x||=||p-q-\frac{\epsilon_1}{2} \frac{p-q}{||p-q||}|| \le [/mm] ||p-q|| + [mm] \frac{\epsilon_1}{2}=dist(p,A)+\frac{\epsilon_1}{2}
[/mm]
Wie kommst du da auf die Abschätzung < dist(p,A)?
> Manches ließe sich noch etwas einfacher argumentieren.
Genau am Schluss könnte man den Anfangsteil weglassen und mit x:= q + [mm] \frac{\epsilon_1}{2} [/mm] * [mm] \frac{p-q}{||p-q||} \not\in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \setminus [/mm] A und [mm] x\in [/mm] U wäre die Sache erledigt.
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Mo 30.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Vielen lieben Dank für deine Antwort.
>
> > Welches der i.A. vielen [mm]\varepsilon_2[/mm] möchtest du hier
> betrachten?
> > Beachte, dass wir nicht wissen, ob überhaupt [mm]x\in X\setminus A[/mm]
> für das von dir gerade gewählte x gilt.
>
> > Mögliche Abhilfe: Verkleinere gegebenenfalls [mm]\varepsilon_1 [/mm],
> so dass [mm]0<\varepsilon_1<||p-q||[/mm] gilt.
>
> > Wenn du dann x:= q + [mm]\frac{\epsilon_1}{2}[/mm] *
> [mm]\frac{p-q}{||p-q||} >[/mm] wählst, kannst (und solltest) du
> [mm]x\notin A[/mm] zeigen.
> > Zeige dazu [mm]||p-x||
>
> Ja das stimmt, dass habe ich vergessen zu überlegen.
> Aber [mm]||p-x||=||p-q-\frac{\epsilon_1}{2} \frac{p-q}{||p-q||}|| \le[/mm]
> ||p-q|| +
> [mm]\frac{\epsilon_1}{2}=dist(p,A)+\frac{\epsilon_1}{2}[/mm]
> Wie kommst du da auf die Abschätzung < dist(p,A)?
man bekommt so, jedenfalls sehe ich das auf die Schnelle gerade nur so,
"nur" [mm] $\text{dist}(p,A) \red{\,\ge\,}\|p-x\|$. [/mm] Wie wäre es denn mit einer anschließenden Fallunterscheidung?
Ich habe nicht alles nochmal durchgelesen, was Tobi hier nun vorgeschlagen
und gemacht hat und welche Bezeichnungen er verwendet (bei sowas helfen
DIR Skizzen sicher ungemein, falls Du noch keine gemacht hast; sowas nur
als Tipp am Rande).
Aber zwei Anmerkungen: Für $a [mm] \le [/mm] b$ zu zeigen, ist es eine gern genutzte
Standardprozedur, dass man
$a < [mm] b+\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$
zeigt (manchmal macht man das auch "nur" für alle rationalen [mm] $\epsilon [/mm] > 0$). Das ist
äquivalent dazu.
Wenn Du nun $a < b$ zeigen willst, bislang aber "nur" $a [mm] \le [/mm] b$ beweisen konntest, dann
mußt Du halt noch zeigen, dass der Fall [mm] $a=b\,$ [/mm] nicht in Frage kommt.
Das aber nur als Anregung, damit Tobi noch mehr selbst dazu sagen kann,
lasse ich die Frage mal auf halb beantwortet, damit er das auch sieht.
Ist, denke ich, in Deinem Sinne!
Gruß,
Marcel
> > Manches ließe sich noch etwas einfacher argumentieren.
> Genau am Schluss könnte man den Anfangsteil weglassen und
> mit x:= q + [mm]\frac{\epsilon_1}{2}[/mm] * [mm]\frac{p-q}{||p-q||} \not\in[/mm]
> A [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] X [mm]\setminus[/mm] A und [mm]x\in[/mm] U wäre die
> Sache erledigt.
>
> LG,
> sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Di 31.03.2015 | | Autor: | tobit09 |
> > Mögliche Abhilfe: Verkleinere gegebenenfalls [mm]\varepsilon_1 [/mm],
> so dass [mm]0<\varepsilon_1<||p-q||[/mm] gilt.
>
> > Wenn du dann x:= q + [mm]\frac{\epsilon_1}{2}[/mm] *
> [mm]\frac{p-q}{||p-q||} >[/mm] wählst, kannst (und solltest) du
> [mm]x\notin A[/mm] zeigen.
> > Zeige dazu [mm]||p-x||
>
> Ja das stimmt, dass habe ich vergessen zu überlegen.
> Aber [mm]||p-x||=||p-q-\frac{\epsilon_1}{2} \frac{p-q}{||p-q||}|| \le[/mm]
> ||p-q|| +
> [mm]\frac{\epsilon_1}{2}=dist(p,A)+\frac{\epsilon_1}{2}[/mm]
Das ist für unsere Zwecke leider zu grob abgeschätzt.
> Wie kommst du da auf die Abschätzung < dist(p,A)?
[mm] $||p-x||=||p-q-\frac{\epsilon_1}{2} \frac{p-q}{||p-q||}||=||1*(p-q)-\frac{\epsilon_1}{2||p-q||}(p-q)||=||(1-\frac{\epsilon_1}{2||p-q||})(p-q)||=|1-\frac{\epsilon_1}{2||p-q||}|\;||p-q||=|1-\frac{\epsilon_1}{2||p-q||}|dist(p,A).
[/mm]
Wenn du dir nun [mm] $|1-\frac{\epsilon_1}{2||p-q||}|<1$ [/mm] überlegst, erhältst du somit (unter Berücksichtigung von $dist(p,A)>0$) wie gewünscht $||p-x||<dist(p,A)$.
Denke zum Nachweis von [mm] $|1-\frac{\epsilon_1}{2||p-q||}|<1$ [/mm] an [mm] $\epsilon_1<||p-q||$.
[/mm]
> > Manches ließe sich noch etwas einfacher argumentieren.
> Genau am Schluss könnte man den Anfangsteil weglassen und
> mit x:= q + [mm]\frac{\epsilon_1}{2}[/mm] * [mm]\frac{p-q}{||p-q||} \not\in[/mm]
> A [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] X [mm]\setminus[/mm] A und [mm]x\in[/mm] U wäre die
> Sache erledigt.
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