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| Aufgabe | Seien [mm] h:G\to{G'} [/mm] ein Homomorphismus und [mm] N\subseteq{G} [/mm] und [mm] N'\subseteq{G'} [/mm] Normalteiler mit [mm] h(N)\subseteq{N'}.
[/mm]
Zeigen Sie, es gibt genau einen Homomorphimus [mm] \tilde{h}:G/N\to{G'/N'}, [/mm] für welchen die kommutative Eigenschaft gilt:
[mm] \varrho'\circ{h}: G\to{G'}\toG'/N' [/mm] und
[mm] \tilde{{h}}\circ\varrho: G\to{G'/N'}
[/mm]
Dabei sind [mm] \varrho [/mm] und [mm] \varrho' [/mm] die natürlichen Homomorphismen mit
[mm] \varrho: G\to{G/N} [/mm] und
[mm] \varrho': G'\to{G'/N'} [/mm] |
Hallo,
wäre super, wenn mir mit obiger Aufgabe jemand helfen könnte.
Mir ist klar, dass ich die Existenz und die EIndeutigkeit zeigen muss.
Zunächst habe ich bei der Lösung an den Homomorphiesatz gedacht. Doch ich glaube, ich komme hier nicht weiter.
Krampfhaft versuche ich hier die Abbildung [mm] \tilde{h} [/mm] direkt zu definieren. Doch es scheint zum Scheitern verurteilt.
Ich hänge einfach fest. Daher wäre ich über eine kleinen Information zum Start der Aufgabe sehr dankbar. Mir fehlt der Denkanstoß.
Danke für eure Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:14 Mi 13.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Richie!
> Seien [mm]h:G\to{G'}[/mm] ein Homomorphismus und [mm]N\subseteq{G}[/mm] und
> [mm]N'\subseteq{G'}[/mm] Normalteiler mit [mm]h(N)\subseteq{N'}.[/mm]
>
> Zeigen Sie, es gibt genau einen Homomorphimus
> [mm]\tilde{h}:G/N\to{G'/N'},[/mm] für welchen die kommutative
> Eigenschaft gilt:
> [mm]\varrho'\circ{h}: G\to{G'}\toG'/N'[/mm] und
> [mm]\tilde{{h}}\circ\varrho: G\to{G'/N'}[/mm]
Ich nehme mal an, es ist [mm] $\varrho'\circ h=\tilde{h}\circ\varrho$ [/mm] gemeint.
> Dabei sind [mm]\varrho[/mm] und [mm]\varrho'[/mm] die natürlichen
> Homomorphismen mit
> [mm]\varrho: G\to{G/N}[/mm] und
> [mm]\varrho': G'\to{G'/N'}[/mm]
> Mir ist klar, dass ich die Existenz und die EIndeutigkeit
> zeigen muss.
>
> Zunächst habe ich bei der Lösung an den Homomorphiesatz
> gedacht. Doch ich glaube, ich komme hier nicht weiter.
Gute Idee. Wende ihn auf [mm] $\varrho'\circ [/mm] h$ und $N$ an.
> Krampfhaft versuche ich hier die Abbildung [mm]\tilde{h}[/mm] direkt
> zu definieren. Doch es scheint zum Scheitern verurteilt.
Das wäre unnötig umständlich, geht aber auch:
[mm] $\tilde{h}\colon G/N\to G'/N',\quad \overline{g}\mapsto \overline{h(g)}$.
[/mm]
Natürlich wäre insbesondere die Wohldefiniertheit von [mm] $\tilde{h}$ [/mm] zu zeigen.
(Letztlich imitiert man auf diesem Wege nur den Beweis des Homomorphiesatzes. Das kann man sich sparen, indem man ihn anwendet.)
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias,
vielen Dank für deine Antwort.
> Hallo Richie!
>
>
> > Seien [mm]h:G\to{G'}[/mm] ein Homomorphismus und [mm]N\subseteq{G}[/mm] und
> > [mm]N'\subseteq{G'}[/mm] Normalteiler mit [mm]h(N)\subseteq{N'}.[/mm]
> >
> > Zeigen Sie, es gibt genau einen Homomorphimus
> > [mm]\tilde{h}:G/N\to{G'/N'},[/mm] für welchen die kommutative
> > Eigenschaft gilt:
> > [mm]\varrho'\circ{h}: G\to{G'}\toG'/N'[/mm] und
> > [mm]\tilde{{h}}\circ\varrho: G\to{G'/N'}[/mm]
> Ich nehme mal an,
> es ist [mm]\varrho'\circ h=\tilde{h}\circ\varrho[/mm] gemeint.
Sorry, die Info habe ich vergessen. Der Vollständigkeit zu liebe gebe ich noch einmal das kommutative Diagramm hier an:
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
> > Dabei sind [mm]\varrho[/mm] und [mm]\varrho'[/mm] die natürlichen
> > Homomorphismen mit
> > [mm]\varrho: G\to{G/N}[/mm] und
> > [mm]\varrho': G'\to{G'/N'}[/mm]
>
>
> > Mir ist klar, dass ich die Existenz und die EIndeutigkeit
> > zeigen muss.
> >
> > Zunächst habe ich bei der Lösung an den Homomorphiesatz
> > gedacht. Doch ich glaube, ich komme hier nicht weiter.
> Gute Idee. Wende ihn auf [mm]\varrho'\circ h[/mm] und [mm]N[/mm] an.
Schön zu hören, dass die Idee nicht schlecht ist.
Nun liefert mir der Homomorphiesatz jedoch nur den Homomorphismus [mm] h_1:G/N\to{G'}.
[/mm]
Damit erhält man das folgende kommutative Diagramm:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Weiter habe ich mir dann überlegt, den Homomorphiesatz noch einmal anzuwenden, und zwar so, dass ich einen Homomorphismus [mm] h_2:G'/N'\to{G} [/mm] erhalte.
Ziel dieser Überlegung war, [mm] h_1 [/mm] und [mm] h_2 [/mm] so glücklich zu verbinden, dass man die Abbildung [mm] \tilde{h} [/mm] erhält.
Noch einmal zurük zum aktuellen Problem:
Wir betrachten das obige kommutative Diagramm mit [mm] h_1. [/mm] Nun könnte man sagen, dass die Abbildung [mm] \tilde{h} [/mm] wie folgt definiert sei:
[mm] \tilde{h}:G/N\to{G/N}, \tilde{h}=\varrho'\circ{h_1}
[/mm]
Mit dieser Definition müsste man nun noch die Eindeutigkeit und die Existenz nachweisen.
Wäre diese Überlegung so ok, oder ist bereits die Definition von [mm] \tilde{h} [/mm] absoluter Irrsinn?
>
>
> > Krampfhaft versuche ich hier die Abbildung [mm]\tilde{h}[/mm] direkt
> > zu definieren. Doch es scheint zum Scheitern verurteilt.
> Das wäre unnötig umständlich, geht aber auch:
>
> [mm]\tilde{h}\colon G/N\to G'/N',\quad \overline{g}\mapsto \overline{h(g)}[/mm].
Nachfrage: was bedeutet hier die Bezeichnung [mm] \overlin{h}? [/mm] Das ist mir bis dato noch nicht untergekommen. Ich kenne den Strich nur als Konjugation - zumindest in der Analysis. Wie ist es in der Algebra darum bestellt?
Vielen Dank für eure/deine Hilfe.
richie
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Mi 13.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > > Zunächst habe ich bei der Lösung an den Homomorphiesatz
> > > gedacht. Doch ich glaube, ich komme hier nicht weiter.
> > Gute Idee. Wende ihn auf [mm]\varrho'\circ h[/mm] und [mm]N[/mm] an.
> Schön zu hören, dass die Idee nicht schlecht ist.
> Nun liefert mir der Homomorphiesatz jedoch nur den
> Homomorphismus [mm]h_1:G/N\to{G'}.[/mm]
Nein. Es muss ja gar nicht [mm] $N\subseteq\operatorname{ker}(h)$ [/mm] gelten.
Wende den Homomorphiesatz nicht auf $h$, sondern wie von mir vorgeschlagen auf [mm] $\varrho'\circ [/mm] h$ an.
> Damit erhält man das folgende kommutative Diagramm:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Weiter habe ich mir dann überlegt, den Homomorphiesatz
> noch einmal anzuwenden, und zwar so, dass ich einen
> Homomorphismus [mm]h_2:G'/N'\to{G}[/mm] erhalte.
> Ziel dieser Überlegung war, [mm]h_1[/mm] und [mm]h_2[/mm] so glücklich zu
> verbinden, dass man die Abbildung [mm]\tilde{h}[/mm] erhält.
>
>
> Noch einmal zurük zum aktuellen Problem:
> Wir betrachten das obige kommutative Diagramm mit [mm]h_1.[/mm] Nun
> könnte man sagen, dass die Abbildung [mm]\tilde{h}[/mm] wie folgt
> definiert sei:
> [mm]\tilde{h}:G/N\to{G/N}, \tilde{h}=\varrho'\circ{h_1}[/mm]
>
> Mit dieser Definition müsste man nun noch die
> Eindeutigkeit und die Existenz nachweisen.
Wenn du [mm] $h_1$ [/mm] wie oben HÄTTEST, würde dieses [mm] $\tilde{h}$ [/mm] wirklich das Gewünschte leisten:
[mm] $\tilde{h}\circ\varrho=\varrho'\circ h_1\circ\varrho=\varrho'\circ [/mm] h$.
Die Eindeutigkeit von [mm] $\tilde{h}$ [/mm] lässt sich aus der Surjektivität von [mm] $\varrho$ [/mm] folgern.
> > > Krampfhaft versuche ich hier die Abbildung [mm]\tilde{h}[/mm] direkt
> > > zu definieren. Doch es scheint zum Scheitern verurteilt.
> > Das wäre unnötig umständlich, geht aber auch:
> >
> > [mm]\tilde{h}\colon G/N\to G'/N',\quad \overline{g}\mapsto \overline{h(g)}[/mm].
>
> Nachfrage: was bedeutet hier die Bezeichnung [mm]\overline{h}?[/mm]
> Das ist mir bis dato noch nicht untergekommen. Ich kenne
> den Strich nur als Konjugation - zumindest in der Analysis.
> Wie ist es in der Algebra darum bestellt?
Da ist der Strich ein Zeichen für die Nebenklasse eines Elements in einer Faktorgruppe.
Ich könnte also genauso gut schreiben:
[mm]\tilde{h}\colon G/N\to G'/N',\quad gN\mapsto (h(g))N'[/mm]
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Hallo Tobias,
wahnsinn, wie das für dich alles Sinn ergibt und für mich immer wieder erschreckend ist.
Algebra ist und wird wohl mein Problem bleiben...
Ich versuche hier noch einmal einen Gedankeninput zu liefern und hoffe, dass zumindest der Grundgedanke ok ist.
> Nein. Es muss ja gar nicht [mm]N\subseteq\operatorname{ker}(h)[/mm]
> gelten.
>
> Wende den Homomorphiesatz nicht auf [mm]h[/mm], sondern wie von mir
> vorgeschlagen auf [mm]\varrho'\circ h[/mm] an.
Ok, ich verstehe dies nun so, dass ich folgende Abbildungen betrachte:
[mm] \varrho'\circ h:G\to{G'/N'} [/mm] und
[mm] \varrho: G\to{G/N}
[/mm]
Der Homomorphiesatz besagt ja folgendes:
Seien G eine Gruppe, [mm] N\subseteq{G} [/mm] ein Normalteiler, [mm] h:G\to{G'} [/mm] ein Gruppenhomomorphismus und [mm] \varrho:G\to [/mm] G/N der natürliche Homomorphismus. Dann sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:
i) [mm] N\subseteq [/mm] Kern(h)
ii) es gibt einen Homomorphismus [mm] \tilde{h}:G/N\to{G'} [/mm] mit der Eigenschaft, dass [mm] h=\tilde{h}\circ\varrho.
[/mm]
Nun gut.
Wenn ich nun nachweise, dass [mm] N\subseteq kern(\varrho'\circ{h}), [/mm] so sichert mir der Satz zumindest schon einmal die Existenz von [mm] \tilde{h}. [/mm]
Und zwar gilt dann: [mm] \varrho'\circ{h}=\tilde{h}\circ\varrho
[/mm]
Gehe ich da Recht in der Annahme?
Ich will mich hier nicht in absoluten Quatsch-Aussagen verrennen, daher die kleine Tippel-Tappel-Tour. Ich hoffe, du/ihr akzeptiert das.
>
>
> > Damit erhält man das folgende kommutative Diagramm:
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> >
> Wenn du [mm]h_1[/mm] wie oben HÄTTEST, würde dieses [mm]\tilde{h}[/mm]
> wirklich das Gewünschte leisten:
>
> [mm]\tilde{h}\circ\varrho=\varrho'\circ h_1\circ\varrho=\varrho'\circ h[/mm].
Ja, das war wohl zu einfach...
>
>
> Die Eindeutigkeit von [mm]\tilde{h}[/mm] lässt sich aus der
> Surjektivität von [mm]\varrho[/mm] folgern.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:32 Do 14.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ok, ich verstehe dies nun so, dass ich folgende
> Abbildungen betrachte:
> [mm]\varrho'\circ h:G\to{G'/N'}[/mm] und
> [mm]\varrho: G\to{G/N}[/mm]
>
> Der Homomorphiesatz besagt ja folgendes:
> Seien G eine Gruppe, [mm]N\subseteq{G}[/mm] ein Normalteiler,
> [mm]h:G\to{G'}[/mm] ein Gruppenhomomorphismus und [mm]\varrho:G\to[/mm] G/N
> der natürliche Homomorphismus. Dann sind die beiden
> folgenden Aussagen äquivalent:
> i) [mm]N\subseteq[/mm] Kern(h)
> ii) es gibt einen Homomorphismus [mm]\tilde{h}:G/N\to{G'}[/mm] mit
> der Eigenschaft, dass [mm]h=\tilde{h}\circ\varrho.[/mm]
Gut, dass du ihn angibst. Ich kenne ihn nämlich in einer etwas anderen Formulierung, aus der direkt hervorgeht, dass der Homomorphismus [mm] $\tilde{h}$ [/mm] (im Falle seiner Existenz) eindeutig bestimmt ist.
> Wenn ich nun nachweise, dass [mm]N\subseteq kern(\varrho'\circ{h}),[/mm]
> so sichert mir der Satz zumindest schon einmal die Existenz
> von [mm]\tilde{h}.[/mm]
> Und zwar gilt dann: [mm]\varrho'\circ{h}=\tilde{h}\circ\varrho[/mm]
> Gehe ich da Recht in der Annahme?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genauso hätte ich auch argumentiert.
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