Existenz Fixpunkt < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Sa 13.01.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Sei f: [0,1] [mm] \to [/mm] [0,1] stetig. Zeige die Existenz einer Zahl [mm] x_0 \in [/mm] [0,1] mit [mm] x_0 [/mm] = [mm] f(x_0).
[/mm]
Bemerkung: Eine solche Zahl heißt Fixpunkt für f. |
Ich habe überhaupt keine Vorstellung wie ich das machen soll, ich kenne das
Bisektionsverfahren (speziell: Intervallhalbierung),
wir haben damit in der Vorlesung den Zwischenwertsatz: bei einer Funktion auf einem Kompakten Intervall [a,b] ist der Wertebereich wieder ein Intervall, bewiesen.
Von der Anschauung her ist das Problem klar (wegen dem Intervall [0,1]), das heißt es muss diesen Fixpunkt geben.
Ich habe nur keinen Mathematischen Ansatz für den Beweis!
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Hiho,
definiere dir eine Hilfsfunktion: h(x) = f(x) - x
Was muss für [mm] h(x_0) [/mm] gelten, wenn f(x) einen Fixpunkt bei [mm] x_0 [/mm] haben soll?.
Was ist h(0)?
Was ist h(1)?
Zwischenwertsatz 
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Sa 13.01.2007 | | Autor: | CPH |
Vielen Dank,
h(0) =f(0)-0 [mm] \ge [/mm] 0
h(1) =f(1)-1 [mm] \le [/mm] 0
d.h.
h(1) [mm] \le h(x_0)=0 \le [/mm] h(0) mit [mm] x_0 =f(x_0)
[/mm]
Nach Zwischenwertsatz existiert dieser Wert.
Damit ist dann die Existenz gezeigt.
das war dann aber einfach,
 , vor allem Dank deinem Tipp, da währe ich so niemals drauf gekommen, vielen vielen Dank!
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