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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Sa 09.12.2023 | | Autor: | Euler123 |
| Aufgabe | Ist die Differentialgleichung
[mm] \boldsymbol{e}^{x} \sin (x)+\boldsymbol{e}^{y(x)} \cos [/mm] (y(x)) [mm] y^{\prime}(x)=0
[/mm]
exakt? Bestimmen Sie die allgemeine Lösung zur Differentialgleichung. |
Hallo zusammen,
Es sei D [mm] \subset \mathbb{R}^{2} [/mm] ein Gebiet und g, h: D [mm] \rightarrow \mathbb{R}. [/mm] Die Differentialgelichung g(x, y)+h(x, y) [mm] y^{\prime}=0 [/mm] heißt exakt, falls eine Stammfunktion von (g, h) existiert.
Dafür hätte ich nun erst einmal die partiellen Ableitungen der Funktionen g(x, [mm] y)=e^{x} \sin [/mm] (x) und h(x, y)= [mm] \) \( e^{y} \cos [/mm] (y) berechnet:
[mm] \frac{\partial}{\partial y} [/mm] g(x, y)=0 (da g(x, [mm] y)=e^{x} \sin [/mm] (x) und unabhängig von y ist)
[mm] \frac{\partial}{\partial x} [/mm] h(x, [mm] y)=e^{y(x)} \sin [/mm] (y(x)) [mm] \cdot y^{\prime}(x)-e^{y(x)} \sin [/mm] (y(x))
Somit ist diese Differentialgleichung nicht exakt????
Für die allgemeine Lösung hätte ich dann [mm] \int e^{y} \cos [/mm] (y) [mm] \mathrm{d} y=\int-e^{x} \sin [/mm] (x) [mm] \mathrm{d} [/mm] x gelöst, wo dann [mm] -e^{x} \sin (x)+e^{x} \cos [/mm] (x)+C herauskommt.
Habe ich das so richtig gemacht???
LG Euler
"Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt"
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Hallo Euler123,
Deine DGL: [mm] $(e^x*sin(x))\;dx+(e^y*cos(y))\;dy=0$
[/mm]
wobei [mm] $g(x,y)=e^x*sin(x)$ [/mm] und [mm] $h(x,y)=e^y*cos(y)$
[/mm]
Integrabilitätsbedingung: [mm] $\frac{\partial g}{\partial y}=0$ [/mm] und [mm] $\frac{\partial h}{\partial x}=0$ [/mm] ist erfüllt.
Damit ist die DGL exakt.
$G(x,y)= [mm] \int e^x*sin(x) \;dx= \frac{1}{2}*e^x*(sin(x)-cos(x))+f(y)+C_1$
[/mm]
$H(x,y)= [mm] \int e^y*sin(y) \;dy= \frac{1}{2}*e^y*(sin(y)-cos(y))+f(x)+C_2$
[/mm]
wobei: [mm] $f(y)=\frac{1}{2}*e^y*(sin(y)-cos(y))$ [/mm] und $f(x)= [mm] \frac{1}{2}*e^x*(sin(x)-cos(x))$
[/mm]
Die Lösung ist damit:
$F(x,y)= [mm] \frac{1}{2}*e^x*(sin(x)-cos(x))+ \frac{1}{2}*e^y*(sin(y)-cos(y))+C=0$
[/mm]
Hoffentlich ohne Fehler.
LG, Martinius
P.S. 1 Tippfehler berichtigt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 So 10.12.2023 | | Autor: | Euler123 |
Hallo Martinius,
Herzlichsten Dank für deine Antwort - das mit der Exaktheit habe ich jetzt verstanden (hat mich anfangs etwas verwirrt - die Argumentation für g und h ist auch die gleiche, wie ich nun sehe).
Habe das jetzt alles nochmals genau durchgerechnet und komme nun auf die selbe allgemeine Lösung wie du :)
LG Euler
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