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Exakte DGL und integr. Faktor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 Di 18.12.2012
Autor: BamPi

Aufgabe
Für x,y>0 betrachten wir die Differentialgleichung

[mm] 2+(\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x})*y'=0 [/mm]

a) Ist diese DGL exakt ?
b) Gibt es einen nur von x abhängigen integrierenden Faktor ?
c) Gibt es einen nur von y abhängigen integrierenden Faktor ?
d) Ist xy ein integrierender Faktor für diese DGL ?
e) Finden Sie eine implizite Gleichung [mm] \phi(x,y(x)) [/mm] = const für die Lösungen der DGL

Hallo,

ich hänge leider bereits schon bei der a fest.
Ich habe zunächst die DGL umformuliert zu:

[mm] \bruch{x}{y}*y'+\bruch{y}{x}*y'=-2 [/mm]

Für eine Exakte DGL muss gelten: [mm] P_y [/mm] = [mm] Q_x [/mm]

Ist hier nun mein

[mm] P(x,y)=\bruch{x}{y} [/mm]
und
[mm] Q(x,y)=\bruch{y}{x} [/mm] ?

Somit wäre ja dann

[mm] \bruch{\partial}{\partial y}P(x,y)=\bruch{-x}{y^2} [/mm]
und
[mm] \bruch{\partial}{\partial x}Q(x,y)=\bruch{-y}{x^2} [/mm]

also
[mm] P_y\not=Q_x [/mm] und damit nicht exakt. Ist das soweit korrekt ?

        
Bezug
Exakte DGL und integr. Faktor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:24 Di 18.12.2012
Autor: schachuzipus

Hallo,


> Für x,y>0 betrachten wir die Differentialgleichung
>  
> [mm]2+(\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x})*y'=0[/mm]
>  
> a) Ist diese DGL exakt ?
>  b) Gibt es einen nur von x abhängigen integrierenden
> Faktor ?
>  c) Gibt es einen nur von y abhängigen integrierenden
> Faktor ?
>  d) Ist xy ein integrierender Faktor für diese DGL ?
>  e) Finden Sie eine implizite Gleichung [mm]\phi(x,y(x))[/mm] =
> const für die Lösungen der DGL
>  Hallo,
>  
> ich hänge leider bereits schon bei der a fest.
>  Ich habe zunächst die DGL umformuliert zu:
>  
> [mm]\bruch{x}{y}*y'+\bruch{y}{x}*y'=-2[/mm]

Wieso?

>  
> Für eine Exakte DGL muss gelten: [mm]P_y[/mm] = [mm]Q_x[/mm]

Die Dgl. sollte dazu in der Form [mm] $P(x,y)+Q(x,y)\cdot{}y'=0$ [/mm] vorliegen ...

Das tut sie in der Ausgangsform mit $P(x,y)=2, [mm] Q(x,y)=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ [/mm]

>  
> Ist hier nun mein
>  
> [mm]P(x,y)=\bruch{x}{y}[/mm]
> und
>  [mm]Q(x,y)=\bruch{y}{x}[/mm] ?
>  
> Somit wäre ja dann
>  
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y}P(x,y)=\bruch{-x}{y^2}[/mm]
> und
>  [mm]\bruch{\partial}{\partial x}Q(x,y)=\bruch{-y}{x^2}[/mm]
>
> also
>  [mm]P_y\not=Q_x[/mm] und damit nicht exakt. Ist das soweit korrekt
> ?

Recht hast du insoweit, als dass die Dgl. nicht exakt ist.

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Exakte DGL und integr. Faktor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 Di 18.12.2012
Autor: BamPi

Also wäre es dann mit

P(x,y)=2
und
[mm] Q(x,y)=\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x} [/mm]

[mm] P_y=0 [/mm]

und

[mm] Q_x [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}-\bruch{x}{y^2} [/mm]

also [mm] P_y \not= Q_x [/mm] ?

Bezug
                        
Bezug
Exakte DGL und integr. Faktor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:36 Di 18.12.2012
Autor: schachuzipus

Hallo BamPi,


> Also wäre es dann mit
>  
> P(x,y)=2
>  und
>  [mm]Q(x,y)=\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x}[/mm] [ok]
>  
> [mm]P_y=0[/mm] [ok]
>  
> und
>
> [mm]Q_x[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}-\bruch{x}{y^2}[/mm]

??

Das stimmt doch nicht ...

>  
> also [mm]P_y \not= Q_x[/mm] ?

Das wird sich so ergeben, aber das "also" passt hier nicht ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Exakte DGL und integr. Faktor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:00 Di 18.12.2012
Autor: BamPi


> Hallo BamPi,
>  
>
> > Also wäre es dann mit
>  >  
> > P(x,y)=2
>  >  und
>  >  [mm]Q(x,y)=\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x}[/mm] [ok]
>  >  
> > [mm]P_y=0[/mm] [ok]
>  >  
> > und
> >
> > [mm]Q_x[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}-\bruch{x}{y^2}[/mm]
>
> ??
>  
> Das stimmt doch nicht ...
>  
> >  

> > also [mm]P_y \not= Q_x[/mm] ?
>
> Das wird sich so ergeben, aber das "also" passt hier nicht
> ...
>  
> Gruß
>  
> schachuzipus
>  

Sorry, ich habe versehentlich Q statt nach x, nach y abgeleitet.
Es sollte natürlich heißen:
[mm] Q_x=\bruch{1}{y}-\bruch{y}{x^2} [/mm]

Somit hätte ich also gezeigt, dass die DGL nicht exakt ist.
Nun muss ich den integrierenden Faktor [mm] \mu [/mm] bestimmen.

Es soll gelten:

[mm] (\mu*P)_y=(\mu*Q)_x [/mm] <=> [mm] (\mu*2)_y=(\mu*\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x})_x [/mm]

leider weis ich nicht so recht wie ich das lösen soll ?

Ich habe einen anderen Ansatz gefunden, welcher besagt:

Wenn [mm] \bruch{P_y-Q_x}{Q} [/mm] nur von x abhängt, ist [mm] \mu_x=\bruch{P_y-Q_x}{Q}*\mu [/mm] und nur von x abhängig.

Wenn [mm] \bruch{P_y-Q_x}{P} [/mm] nur von y abhängt, ist [mm] \mu_y=\bruch{P_y-Q_x}{P}*\mu [/mm] und nur von y abhängig.

Keines der beiden trifft in meinem Fall zu. Kann ich somit bereits sagen, dass mein gesuchter Integrierender Faktor weder nur von x, noch nur von y abhängt ?

Bezug
                                        
Bezug
Exakte DGL und integr. Faktor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Di 18.12.2012
Autor: MathePower

Hallo BamPi,

> > Hallo BamPi,
>  >  
> >
> > > Also wäre es dann mit
>  >  >  
> > > P(x,y)=2
>  >  >  und
>  >  >  [mm]Q(x,y)=\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x}[/mm] [ok]
>  >  >  
> > > [mm]P_y=0[/mm] [ok]
>  >  >  
> > > und
> > >
> > > [mm]Q_x[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}-\bruch{x}{y^2}[/mm]
> >
> > ??
>  >  
> > Das stimmt doch nicht ...
>  >  
> > >  

> > > also [mm]P_y \not= Q_x[/mm] ?
> >
> > Das wird sich so ergeben, aber das "also" passt hier nicht
> > ...
>  >  
> > Gruß
>  >  
> > schachuzipus
>  >  
>
> Sorry, ich habe versehentlich Q statt nach x, nach y
> abgeleitet.
>  Es sollte natürlich heißen:
>  [mm]Q_x=\bruch{1}{y}-\bruch{y}{x^2}[/mm]
>  
> Somit hätte ich also gezeigt, dass die DGL nicht exakt
> ist.
>  Nun muss ich den integrierenden Faktor [mm]\mu[/mm] bestimmen.
>
> Es soll gelten:
>  
> [mm](\mu*P)_y=(\mu*Q)_x[/mm] <=>
> [mm](\mu*2)_y=(\mu*\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x})_x[/mm]
>  

Hier hast Du ein paar Klammern vergessen:

[mm](\mu*2)_y=(\mu*\left\blue{(}\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x}\right\blue{)})_x[/mm]


> leider weis ich nicht so recht wie ich das lösen soll ?
>  
> Ich habe einen anderen Ansatz gefunden, welcher besagt:
>  
> Wenn [mm]\bruch{P_y-Q_x}{Q}[/mm] nur von x abhängt, ist
> [mm]\mu_x=\bruch{P_y-Q_x}{Q}*\mu[/mm] und nur von x abhängig.
>  
> Wenn [mm]\bruch{P_y-Q_x}{P}[/mm] nur von y abhängt, ist
> [mm]\mu_y=\bruch{P_y-Q_x}{P}*\mu[/mm] und nur von y abhängig.
>  
> Keines der beiden trifft in meinem Fall zu. Kann ich somit
> bereits sagen, dass mein gesuchter Integrierender Faktor
> weder nur von x, noch nur von y abhängt ?


Ja, das kannst Du.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Exakte DGL und integr. Faktor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:26 Mi 19.12.2012
Autor: BamPi


> > Keines der beiden trifft in meinem Fall zu. Kann ich somit
> > bereits sagen, dass mein gesuchter Integrierender Faktor
> > weder nur von x, noch nur von y abhängt ?
>
>
> Ja, das kannst Du.
>  
>
> Gruss
>  MathePower


Hallo,

bei Aufgabenteil d) kann ich demnach einfach durch einsetzen prüfen:

[mm] (\mu*P)_y [/mm] = [mm] (\mu*Q)_x [/mm]

Mit P=2 und [mm] Q=\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x} [/mm] und [mm] \mu=x*y [/mm] folgt

[mm] (x*y*2)_y [/mm] = [mm] (x*y*(\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x}))_x [/mm]
=> 2*x=2*x und somit ist [mm] \mu=x*y [/mm] ein integrierender Faktor der DGL.


Nun zur impliziten Gleichung:

Eine implizite Lösung wäre doch
[mm] y'=\bruch{-2*x*y}{x^2+y^2} [/mm] (Ausgangsgleichung nach y' umgestellt)
[mm] y=\integral{\bruch{-2*x*y}{x^2+y^2} dx} [/mm] = [mm] -ln(x^2+y^2)*y [/mm]

wäre das korrekt ?

Bezug
                                                        
Bezug
Exakte DGL und integr. Faktor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:44 Mi 19.12.2012
Autor: ullim

Hi,

der integrierende Faktor ist [mm] x\cdot{y} [/mm]

Damit ist die gesuchte implizite Funktion [mm] \Phi(x,y(x)) [/mm] eine Funktion, die die Gleichung

[mm] \nabla\Phi(x,y(x))=\vektor{2xy \\ x^2+y^2} [/mm] erfüllen muss.

Also musst Du eine Funktion [mm] \Phi(x,y) [/mm] suchen, mit [mm] \Phi_x=2xy [/mm] und [mm] \Phi_y=x^2+y^2 [/mm]

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