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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 So 14.10.2007 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Zeige, dass für alle natürlichen n gilt:
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] < 3 |
Wie kann man dies zeigen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 So 14.10.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
das kannst du mit vollständiger Induktion zeigen:
n=1: 1+1/1=2<3 ist richtig.
Jetzt sei die Behauptung für n richtig, daher es gelte für ein n:
[mm] (1+1/n)^{n}<3.
[/mm]
Jetzt musst du versuchen daraus zu folgern, dass:
[mm] (1+1/(n+1))^{n+1}<3.
[/mm]
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 So 14.10.2007 | | Autor: | jokerose |
Ja also so weit bin ich jetzt bereits gekommen.
Aber weiter weiss ich leider nicht...
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Hallo,
habt Ihr die Reihe [mm] \summe_k\bruch{1}{k!} [/mm] schon behandelt? Kennt Ihr den Wert der Reihe oder eine Abschätzung? [mm] \summe_k\bruch{1}{k!}<3 [/mm] ?
Wenn man das verwenden darf, kommt man zum Ziel, indem man zunächst auf [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] den binomischen Satz anwendet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 So 14.10.2007 | | Autor: | jokerose |
Nein, also das haben wir noch nicht behandelt.
Aber wie kann man diese Aufgabe denn mit vollständiger Induktion lösen?
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> Aber wie kann man diese Aufgabe denn mit vollständiger
> Induktion lösen?
Hallo,
mir fällt nichts dazu ein, und ich bin auch skeptisch, ob es mit Induktion geht.
Wenn Ihr den binomischen Satz hattet und die endliche geometrische Reihe (zeigt man normalerweise, wenn die vollst. Induktion behandelt wird), so hätte ich eine Lösung in petto.
Ich würde sie allerdings nur aufschreiben, wenn ich wüßte, daß Du sie gebrauchen kannst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 So 14.10.2007 | | Autor: | jokerose |
Ja also den binomischen Lehrsatz hatten wir bereits.
Endliche geometrische Folgen würde ich glaub auch raffen.
Jo also wenn es dich nicht all zu viel Mühe kostet, hätte ich natürlich interesse an der Lösung.
Vielen Dank für die bereits geleistete Hilfe. Ist wirklich sehr nett.
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> Aber wie kann man diese Aufgabe denn mit vollständiger
> Induktion lösen?
Wie gesagt, fällt mir dazu nichts ein.
Aber da Ihr den binomischen Lehrsatz hattet, will ich Dir meinen Beweis mitteilen.
Du brauchst am Ende noch die endl. geometrische Reihe, wenn Ihr die nicht hattet, kannst Du sie recht leicht vorweg per Induktion beweisen.
Endl. geometrische Reihe: [mm] \summe_{k=0}^{n}x^k=\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}.
[/mm]
Es ist
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n= \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}\bruch{1}{n^k} [/mm] (mit dem binomischen Satz)
= [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{n!}{k!(n-k)!}\bruch{1}{n^k} [/mm] (Binomialkoeffizient)
= [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}\bruch{1}{n^k} [/mm] (im Zähler des ersten Bruchs hast Du k Faktoren)
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\bruch{\bruch{n}{n}\bruch{n-1}{n}...\bruch{n-k+1}{n}}{k!} [/mm]
(jeder der Brüche im Zähler ist [mm] \le1 [/mm] )
[mm] \le \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{0!}+\bruch{1}{1!}+\bruch{1}{2!}+\summe_{k=3}^{n}\bruch{1}{k!}
[/mm]
[mm] =\bruch{5}{2} [/mm] + [mm] \summe_{k=3}^{n}\bruch{1}{1*2*3*...*k}
[/mm]
[mm] =\bruch{5}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\summe_{k=3}^{n}\bruch{1}{3*...*k} [/mm]
(unter dem Bruchstrich in der Summe stehen k-2 Zahle, die alle [mm] \ge [/mm] 3 sind)
[mm] \le \bruch{5}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\summe_{k=3}^{n}\bruch{1}{3^{k-2}} [/mm]
Jetzt Indexverschiebung
= [mm] \bruch{5}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\summe_{k=0}^{n-3}\bruch{1}{3^{k+1}} [/mm]
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] aus der Summe ausklammern
= [mm] \bruch{5}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2*3}\summe_{k=0}^{n-3}\bruch{1}{3^{k}}
[/mm]
Nun die endl. geom. Reihe
= [mm] \bruch{5}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}*\bruch{1-\bruch{1}{3^{n-2}}}{1-\bruch{1}{3}}
[/mm]
= [mm] \bruch{5}{2} [/mm] + [mm] \bruch{3}{2*6}*(1-\bruch{1}{3^{n-2}})
[/mm]
= [mm] \bruch{5}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}*(1-\bruch{1}{3^{n-2}})
[/mm]
[mm] =\bruch{5}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}*1 [/mm] - [mm] \underbrace{\bruch{1}{4}*\bruch{1}{3^{n-2}}}_{>0} <\bruch{5}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}<3
[/mm]
Schau, ob Du es nachvollziehen kannst - und ob ich keine Fehler gemacht habe.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:49 So 14.10.2007 | | Autor: | jokerose |
Herzlichen Dank für diese ausführliche Lösung.
Gruss Jokerose
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 So 14.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
das einfachst ist, die Gleichung zu logarithmieren, und zu verwenden, dass log(1+x)<x ist
mit vollst. Induktion wirds länger!
Gruss leduart
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> das einfachst ist, die Gleichung zu logarithmieren, und zu
> verwenden, dass log(1+x)<x ist
Hallo,
ich habe meine Zweifel, ob's den Logarithmus bei jokerose schon gibt, aber das weiß nur sie.
> mit vollst. Induktion wirds länger!
Kannst Du das mit vollständiger Induktion lösen?
Ich habe mich redlich bemüht und es zu meinem Leidwesen nicht hinbekommen.
Gibt's da einen besonderen Trick?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 So 14.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo angela
> > mit vollst. Induktion wirds länger!
>
> Kannst Du das mit vollständiger Induktion lösen?
> Ich habe mich redlich bemüht und es zu meinem Leidwesen
> nicht hinbekommen.
> Gibt's da einen besonderen Trick?
Das dachte ich! war aber beim Aufschreiben falsch.
dafür hab ich noch ne Menge Nicht- Induktionsbeweise gefunden!
Gruss leduart
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