Eulersche Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 So 06.05.2007 | | Autor: | misterET |
| Aufgabe | Folgendes Integral ist zu lösen:
integral f(x),
f(x) = [mm][mm] \bruch{dx}{x^3 * \wurzel{x^2 + 1}} [/mm] \[mm] |
Hallo Leute.
Mir fällt zu diesem Integral echt keine Substiution ein. Vielleicht eine Standardsubstitution mit Euler? Oder gibt es kürzere, einfacherer Substitutionen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 So 06.05.2007 | | Autor: | TRANSLTR |
Meiner Meinung nach solltest du zuerst das [mm] \bruch{1}{x_{2}+1} [/mm] substituieren und danach eine partielle Integration machen.
Das Ergebnis jedensfalls, habe ich mit Mathematica ausgerechnet.
Hier:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (-\bruch{\wurzel{1+x^{2}}}{x^{2}} [/mm] - Ln[x] + Ln [1 + [mm] \wurzel{1+x^{2}}])
[/mm]
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mmh ne ich glaube das bringt nichts. Also das [mm]\bruch{1}{x^{2}+1}[/mm] zu substituieren.
Ich habe nen guten Grafiktaschenrechner der spruckt mir die Lösung auch aus aber auf die komm ich nicht :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Di 08.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Naheliegend ist die Substitution [mm] t=\wurzel{x^2 + 1}.
[/mm]
Damit erhältst du dt/dx = [mm] 2x/2\wurzel{x^2 + 1}=x/\wurzel{x^2 + 1}.
[/mm]
Als Zwischenlösung ergibt sich [mm] \bruch{dx}{x^3 * \wurzel{x^2 + 1}}=\bruch{dt*\wurzel{x^2 + 1}}{x^4 * \wurzel{x^2 + 1}}=\bruch{dt}{x^4}
[/mm]
Mit [mm] x^{4}=(t^{2}-1)^{2} [/mm] wird daraus [mm] \bruch{dt}{(t^{2}-1)^{2}}.
[/mm]
Auf den Nenner wendest du nun die 3. binom. Formel und auf das Ganze die Partialbruchzerlegung an.
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