Eulersche Phi-Funktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Mi 07.05.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Gegeben sei die Eulersche [mm] $\varphi$-Funktion [/mm] sowie zwei natürliche Zahlen [mm] $m,n\in\mathbb{N}$. [/mm] Beweisen Sie:
[mm] $\varphi(mn)\cdot\varphi (ggT(m,n))=\varphi (m)\cdot \varphi (m)\cdot [/mm] ggT(m,n)$ |
Hallo zusammen,
bräuchte einen kleinen Tipp bei diesem Beweis. Für den Fall, dass $m,n$ teilerfremd sind, ist der Beweis einfach: In diesem Fall folgt aus der Multiplikativität der [mm] $\varphi$-Funktion, [/mm] dass
[mm] $\varphi(mn)=\varphi(m)\cdot \varphi(n)$ [/mm] gilt. Außerdem ist [mm] $\varphi (ggT(m,n)=\varphi [/mm] (1)=1=ggt(m,n)$.
Nur leider komme ich für den anderen Fall nicht weiter (also den Fall, dass $m$ und $n$ nicht teilerfremd sind).
Vielleicht könnte mir ja jemand dankenswerterweise einen Tipp geben.
Viele Dank und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Mi 07.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gegeben sei die Eulersche [mm]\varphi[/mm]-Funktion sowie zwei
> natürliche Zahlen [mm]m,n\in\mathbb{N}[/mm]. Beweisen Sie:
> [mm]\varphi(mn)\cdot\varphi (ggT(m,n))=\varphi (m)\cdot \varphi (m)\cdot ggT(m,n)[/mm]
Hinter dem Gleichheitszeichen soll eins der [mm] $\varphi(m)$ [/mm] wohl ein [mm] $\varphi(n)$ [/mm] sein, oder?
> Hallo zusammen,
>
> bräuchte einen kleinen Tipp bei diesem Beweis. Für den
> Fall, dass [mm]m,n[/mm] teilerfremd sind, ist der Beweis einfach: In
> diesem Fall folgt aus der Multiplikativität der
> [mm]\varphi[/mm]-Funktion, dass
> [mm]\varphi(mn)=\varphi(m)\cdot \varphi(n)[/mm] gilt. Außerdem ist
> [mm]\varphi (ggT(m,n)=\varphi (1)=1=ggt(m,n)[/mm].
>
> Nur leider komme ich für den anderen Fall nicht weiter
> (also den Fall, dass [mm]m[/mm] und [mm]n[/mm] nicht teilerfremd sind).
Ich wuerd's so machen: schreibe $a$ und $b$ als Produkt von Primzahlpotenzen, etwa $a = [mm] \prod_{i=1}^k p_i^{e_i}$ [/mm] unf $b = [mm] \prod_{i=1}^k p_i^{f_i}$ [/mm] mit [mm] $e_i, f_i \ge [/mm] 0$.
Dann kannst du die Behauptung darauf zurueckfuehren, dass du es fuer $a = [mm] p_i^{e_i}$ [/mm] und $b = [mm] p_i^{f_i}$ [/mm] zeigst fuer festes $i$. Und fuer Primzahlpotenzen kannst du das relativ einfach machen; nimm einfach [mm] $e_i \le f_i$ [/mm] an, dann kannst du ggT etc. exakt hinschreiben.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Do 08.05.2008 | | Autor: | grenife |
Hallo Felix!
erstmal wieder vielen Dank für Deinen Hinweis!
Habe die Lösung mit Hilfe des (mir zuvor unbekannten) Zusammenhangs:
[mm] $\varphi(p^k)=p^k\cdot (1-\frac{1}{p})$ [/mm] gelöst.
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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