matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenZahlentheorieEulersche Funktion mit ggT = 2
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Zahlentheorie" - Eulersche Funktion mit ggT = 2
Eulersche Funktion mit ggT = 2 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eulersche Funktion mit ggT = 2: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:12 Sa 07.11.2020
Autor: sancho1980

Aufgabe
Seien m, n [mm] \in \IN, [/mm] und sei ggT(m, n) = 2. Beweisen Sie, dass [mm] \phi(mn) [/mm] = 2 [mm] \phi(m) \phi(n). [/mm]

Hallo,
grübel leider schon wieder mehrere Stunden hierüber.

Verfolge bisher 2 Ansätze:

1) Aus ggT(m, n) = 2 folgt einerseits, dass sowohl die Primfaktorzerlegung von m als auch die von n eine Zweierpotenz [mm] \ge [/mm] 1 enthält, wobei entweder die von m oder die von n genau 1 ist. Sei die Zerlegung von n diejenige, die genau [mm] 2^1 [/mm] enthält. Dann gilt [mm] \phi(\frac{mn}{2}) [/mm] = [mm] \phi(m) \phi(\frac{n}{2}). [/mm] Hier komme ich nicht weiter, weil ich zu keiner allgemeinen Aussage zum Verhältnis [mm] \frac{\phi(\frac{n}{2})}{\phi(n)} [/mm] bzw. [mm] \frac{\phi(\frac{mn}{2})}{\phi(mn)} [/mm] gelange ...

2) Andererseits habe ich einen Beweis für die Multiplikativität [mm] \phi(mn) [/mm] = [mm] \phi(m) \phi(n) [/mm] für ggT(m, n) = 1. Hier werden im Grunde drei Mengen [mm] U_{m}, U_{n} [/mm] und [mm] U_{mn} [/mm] mit [mm] U_{x} [/mm] = [mm] \{ a \in \IZ_{x} \vert ggT(a, x) = 1 \} [/mm] verwendet und dann zwei Funktionen [mm] U_{mn} \to U_m \times U_n [/mm] und [mm] U_m \times U_n \to U_{mn} [/mm] definiert und gezeigt, dass beide surjektiv sind, wobei verrwendet wird, dass es mit dem chinesischen Restsatz ein eindeutig bestimmtes [mm] x_0 \in \IZ_{mn} [/mm] so gibt, dass [mm] x_0 [/mm] mod m = a [mm] \in \IZ_{m} [/mm] und [mm] x_0 [/mm] mod n = b [mm] \in \IZ_{n}. [/mm] Auch hier stocke ich leider und würde mich über einen Tipp freuen...

Gruß und Danke,

Martin

        
Bezug
Eulersche Funktion mit ggT = 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:33 So 08.11.2020
Autor: statler

Guten Morgen!

> Seien m, n [mm]\in \IN,[/mm] und sei ggT(m, n) = 2. Beweisen Sie,
> dass [mm]\phi(mn)[/mm] = 2 [mm]\phi(m) \phi(n).[/mm]
>  Hallo,
>  grübel leider schon wieder mehrere Stunden hierüber.
>  
> Verfolge bisher 2 Ansätze:
>  
> 1) Aus ggT(m, n) = 2 folgt einerseits, dass sowohl die
> Primfaktorzerlegung von m als auch die von n eine
> Zweierpotenz [mm]\ge[/mm] 1 enthält, wobei entweder die von m oder
> die von n genau 1 ist. Sei die Zerlegung von n diejenige,
> die genau [mm]2^1[/mm] enthält. Dann gilt [mm]\phi(\frac{mn}{2})[/mm] =
> [mm]\phi(m) \phi(\frac{n}{2}).[/mm] Hier komme ich nicht weiter,

>
Unter diesen Voraussetzungen ist [mm] $\varphi(\frac{n}{2}) [/mm] = [mm] \varphi(n)$. [/mm] Am einfachsten ist es wohl, du schreibst dir die Primfaktorzerlegungen von m und n hin und benutzt dann die Produktdarstellung von [mm] $\varphi$: [/mm]
$m = [mm] 2^{e_0}\cdot p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r}$ [/mm] und $n = [mm] 2^{1}\cdot q_1^{f_1} \cdots q_s^{f_s}$ [/mm]

Jetzt ist [mm] $\varphi(m) [/mm] = [mm] 2^{e_0 - 1}\cdot p_1^{e_1}(1-\frac{1}{p_1}) \cdots p_r^{e_r}(1-\frac{1}{p_r})$ [/mm] und [mm] $\varphi(n) [/mm] = [mm] 2^{0}\cdot q_1^{f_1}(1-\frac{1}{q_1}) \cdots q_s^{f_s}(1-\frac{1}{q_s})$ [/mm]

Was ist jetzt [mm] \varphi(mn)? \rightarrow [/mm] Das ist deine Aufgabe :)
So weit so gut und schönen Sonntag
Dieter



Bezug
                
Bezug
Eulersche Funktion mit ggT = 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:10 So 08.11.2020
Autor: sancho1980

Super danke. Dabei fällt mir auf: Auf diese Weise hätte man [mm] \phi(mn) [/mm] = [mm] \phi(m) \phi(n) [/mm] im Fall dass ggT(m, n) = 1 auch viel einfacher zeigen können als über diese Mengen [mm] U_m, U_n [/mm] und [mm] U_{mn} [/mm] ...

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]