Eulersche Formel < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Do 20.12.2012 | | Autor: | acid |
Hallo,
ich habe keine Frage zu einer Aufgabe, sondern eher allgemein zur Geschichte der Eulerschen Formel. Deswegen poste ich auch hier. Ich hoffe, das muss nirgendwo anders rein.
Es scheint ja, als würden Exponentialfunktion durch [mm] e^{i\phi} [/mm] = [mm] cos(\phi) [/mm] + i [mm] sin(\phi) [/mm] perfekt "zusammenpassen". Aber warum passt da alles so wahnsinnig gut? Eigentlich sind die trigonometrischen Funktionen ja nur als Verhältnisse von Dreiecksseiten definiert.
Und trotzdem kann man sie durch [mm] \sin(x) [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] berechnen, was ja praktisch (fast) nur jedes zweite Folgeglied der Exponentialfunktion ist.
Ist das Zufall und die Zahl e hätte es vielleicht auch ohne diesen Zusammenhang gegeben? Oder ist e einfach so gewählt, dass am Ende genau das herauskommen muss?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
acid
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Do 20.12.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> ich habe keine Frage zu einer Aufgabe, sondern eher
> allgemein zur Geschichte der Eulerschen Formel. Deswegen
> poste ich auch hier. Ich hoffe, das muss nirgendwo anders
> rein.
>
>
> Es scheint ja, als würden Exponentialfunktion durch
> [mm]e^{i\phi}[/mm] = [mm]cos(\phi)[/mm] + i [mm]sin(\phi)[/mm] perfekt
> "zusammenpassen". Aber warum passt da alles so wahnsinnig
> gut? Eigentlich sind die trigonometrischen Funktionen ja
> nur als Verhältnisse von Dreiecksseiten definiert.
Hallo,
den Eindruck hast du, weil du in deinem Schülerleben als allererstes mit gerade dieser sehr eingeschränkten Anwendungsform (Verhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken) der trigonometrischen Funktionen in Kontakt gekommen bist.
Hätte man dir diese Funktionen zuallererst als Potenzreihen nahegebracht, würdest du sicher die trigonometrischen Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken nur als "nützliches Abfallprodukt" sehen.
Gruß Abakus
>
> Und trotzdem kann man sie durch [mm]\sin(x)[/mm] =
> [mm]\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm] berechnen,
> was ja praktisch (fast) nur jedes zweite Folgeglied der
> Exponentialfunktion ist.
>
> Ist das Zufall und die Zahl e hätte es vielleicht auch
> ohne diesen Zusammenhang gegeben? Oder ist e einfach so
> gewählt, dass am Ende genau das herauskommen muss?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Viele Grüße
> acid
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Do 20.12.2012 | | Autor: | acid |
Okay, vielen Dank für die Antworten!
Wenn die trigonometrischen Funktionen vorher nur (als Abfallprodukt) benutzt wurden, um die Winkel zu berechnen, dann haben sie ja trotzdem genau mit den Werten übereingestimmt, die man heute aus den Taylorreihen bekommt. Das ist also nichts weiter als Zufall?
|
|
|
| |
|
> Okay, vielen Dank für die Antworten!
>
> Wenn die trigonometrischen Funktionen vorher nur (als
> Abfallprodukt) benutzt wurden, um die Winkel zu berechnen,
> dann haben sie ja trotzdem genau mit den Werten
> übereingestimmt, die man heute aus den Taylorreihen
> bekommt. Das ist also nichts weiter als Zufall?
Hallo acid,
die Rede von "nützlichem Abfallprodukt" (durch chrisno)
war wohl wenigstens zum Teil auch spasshaft gemeint.
Und "Zufälle" spielen in diesem Themenbereich kaum
eine Rolle.
Das Beispiel der für einen Anfänger zunächst recht
rätselhaften Zusammenhänge zwischen Trigonometrie,
Taylorreihen, Differentialgleichungen, Zahlentheorie
(die Liste liesse sich noch verlängern), bei welchen
auch die Eulerzahl e eine wichtige Rolle spielt, ist
nur eines (aber ein ganz bedeutendes) von vielen,
das einen wachen Geist aufmerksam machen kann
auf die tiefen gegenseitigen Verknüpfungen, welche
aus der Mathematik, die manchen möglicherweise
zunächst als eine ziemlich zusammengewürfelte
Ansammlung von Wissensbrocken erscheinen mag,
ein kreuz und quer auf innigste Weise verflochtenes
"Kunstwerk" machen - aber eines, das nicht einfach
so wie ein "gewöhnliches" Kunstwerk (aus der so-
genannten "Kunst") nur von Menschen gemacht ist,
sondern in sich selber die Kennzeichen eines über
menschliche Kunst hinaus gehenden inneren Wahr-
heitsanspruches hat.
Den Zusammenhängen kann man nachgehen und
dabei eine Art "neuer Welt" entdecken lernen, die
man vorher nicht geschaut hat.
Viel Spaß bei deinen Entdeckungen !
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Do 20.12.2012 | | Autor: | chrisno |
Es gibt diverse Methoden, auf die Zahl e zu kommen, mir fallen direkt zwei ein:
- Welche Funktion erfüllt f(x) = f'(x)?
- Wie integriert man 1/x?
Auch lebten die trigonometrischen Funktionen und die Exponentialfunktionen friedlich nebeneinander. Dann kam Euler und fand diesen Zusammenhang. Darum heißt die Zahl e.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Do 20.12.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo,
berühmt ist der Zusammenhang [mm] e^{i\pi}+1=0, [/mm] weil die fünf wichtigsten Zahlen der Mathematik darin vorkommen.
Anzumerken ist aber auch, dass nicht nur diese Gleichung, sondern auch die Formelzeichen (Denominatoren) $e$, $i$ und [mm] \pi [/mm] auf Euler zurückgehen.
Für Nachmacher gilt also der Tipp: erstmal drei besondere Zahlen (er)finden, und dann einen geeigneten Zusammenhang herstellen...
Die Größe Eulers ist kaum zu überschätzen.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
> berühmt ist der Zusammenhang [mm]e^{i\pi}+1=0,[/mm] weil die fünf
> wichtigsten Zahlen der Mathematik darin vorkommen.
Noch mehr:
es kommen auch die drei wichtigsten Operationen darin
vor: Addition, Multiplikation, Potenzieren
und dazu die wichtigste Relation: die Gleichheit !
LG
Al-Chwarizmi
. =
. + * ^
. 0 1 i e [mm] \pi [/mm]
|
|
|
| |
|
> Dann kam Euler und fand diesen Zusammenhang.
> Darum heißt die Zahl e. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Aus Wikipedia:
"Der Buchstabe e für diese Zahl wurde zuerst von Euler 1736 in seinem Werk Mechanica benutzt. Es gibt keine Hinweise, dass dies in Anlehnung an seinen Namen geschah, ebenfalls ist unklar, ob er dies in Anlehnung an die Exponentialfunktion oder aus praktischen Erwägungen der Abgrenzung zu den viel benutzten Buchstaben a, b, c oder d machte."
Es ist nicht sehr wahrscheinlich, dass sich Leonhard Euler mit der Bezeichnung "e" für eine spezielle Zahl eine Art "Denkmal" schaffen wollte. In seinem sehr umfangreichen Werk über viele mathematische, physikalische, technische und auch musikalische Themen benützte er zwangsläufig sehr viele Zeichen für Variablen und Konstanten. Dass dabei auch mal das "e" auftrat, kann man also wohl kaum einer Art Eitelkeit zuschreiben. Wäre er wirklich eitel gewesen, so hätte er wohl kein kleines "e", sondern dann schon das große "E" benützt ...
In Mathematica wird die Zahl übrigens heute tatsächlich mit "E" bezeichnet - aber auch nicht, um Euler Ehre zu erweisen, sondern weil reservierte Funktions- (und Konstanten-) bezeichnungen in Mathematica mit Großbuchstaben anfangen, um sie von User-definierten Variablen zu unterscheiden ...
Nebenbei: gerade gestern (sorry, vorgestern, denn es ist gerade Mitternacht vorbei - zum 21.12.2012) kam ich am ehemaligen Pfarrhaus von Riehen bei Basel vorbei, wo Leonhard Euler seine Jugendjahre verbrachte, und las die Inschrift: ![[]](/images/popup.gif) Gedenktafel
LG, Al-Chw.
|
|
|
|
![[]](http://img.geocaching.com/cache/269eb024-fc9c-4fc0-8663-f942155ebace.jpg){kind=small}
Gedenktafel