Eulersche Formel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:27 So 04.05.2008 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
ich habe die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Diese Lösung ist allerdings komplex.
Sie lautet: [mm] T(t)=Ae^{ikct}+Be^{-ikct}
[/mm]
Diese schreib ich mir über die Eulersche Formel um in:
T(t)=A(cos(kct)+i*sin(kct))+B(cos(kct)-i*sin(kct))
Es geht hier um die Lösung der eindimensionalen Wellengleichung, also muss hier was reelles als Lösung rauskommen.
Ich hätte jetzt gesagt, das die Lösung lautet: T(t)=A*cos(kct)+B*cos(kct), da ich nur die reellen Anteile benötige.
Tatsächlich lautet die Lösung aber so: T(t)=A*cos(kct)+B*sin(kct)
Kann mir das einer erklären bitte?
Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 So 04.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo clwoe!
Bei Deiner Lösung könnte man ja noch zusammenfassen zu $y \ = \ [mm] (A+B)*\cos(k*c*t)$ [/mm] ,w as ja nur einer einfachen Cosinus-Linie entspricht.
Gruß
Loddar
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Hallo clwoe,
> Hallo,
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> ich habe die Lösung einer gewöhnlichen
> Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten
> Koeffizienten. Diese Lösung ist allerdings komplex.
>
> Sie lautet: [mm]T(t)=Ae^{ikct}+Be^{-ikct}[/mm]
>
> Diese schreib ich mir über die Eulersche Formel um in:
>
> T(t)=A(cos(kct)+i*sin(kct))+B(cos(kct)-i*sin(kct))
Das fassen wir doch glatt zusammen:
[mm]T\left(t\right)=\left(A+B\right)*\cos\left(kct\right)+i*(A-B)*\sin\left(kct\right)[/mm]
Wähle ich jetzt die Konstanten so, daß [mm]A+B \in \IR[/mm] und [mm]i*\left(A-B\right) \in \IR[/mm],
dann erhalte ich eine reelle Lösung:
[mm]T\left(t\right)=\tilde{A}*\cos\left(kct\right)+\tilde{B}*\sin\left(kct\right)[/mm]
mit
[mm]\tilde{A}=A+B=A+\overline{A}=2*Re \ A[/mm]
[mm]\tilde{B}=A-B=A-\overline{A}=2*Im \ A[/mm]
>
> Es geht hier um die Lösung der eindimensionalen
> Wellengleichung, also muss hier was reelles als Lösung
> rauskommen.
>
> Ich hätte jetzt gesagt, das die Lösung lautet:
> T(t)=A*cos(kct)+B*cos(kct), da ich nur die reellen Anteile
> benötige.
>
> Tatsächlich lautet die Lösung aber so:
> T(t)=A*cos(kct)+B*sin(kct)
>
> Kann mir das einer erklären bitte?
>
> Gruß,
> clwoe
>
Gruß
MathePower
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