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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:55 Mi 02.07.2008 | | Autor: | domenigge135 |
Hallo ich habe mal eine kleine Frage. Ich soll z.B. folgende Aufgabe
[mm] (1-i)z^3+\wurzel{2}e^{i\bruch{3}{4}\pi}=0 [/mm] die Lösungen z [mm] \in \IC [/mm] bestimmen.
Also mache ich folgendes [mm] (1-i)z^3=-\wurzel{2}e^{i\bruch{3}{4}\pi} \Rightarrow \wurzel{2}e^{-i\bruch{\pi}{4}}z^3=-\wurzel{2}e^{i\bruch{3}{4}\pi} \Rightarrow z^3=-e^{i\pi} [/mm] aber woher erkenne ich jetzt, dass das 1 ist??? könntet ihr mir vielleicht mal zeigen, wie man sowas erkennt oder wurde das dann in die trigonometrische Form umgeschrieben und dann ausgerechnet???
MFG domenigge135
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Hallo domenigge135!
> Hallo ich habe mal eine kleine Frage. Ich soll z.B.
> folgende Aufgabe
> [mm](1-i)z^3+\wurzel{2}e^{i\bruch{3}{4}\pi}=0[/mm] die Lösungen z
> [mm]\in \IC[/mm] bestimmen.
> Also mache ich folgendes
> [mm](1-i)z^3=-\wurzel{2}e^{i\bruch{3}{4}\pi} \Rightarrow \wurzel{2}e^{-i\bruch{\pi}{4}}z^3=-\wurzel{2}e^{i\bruch{3}{4}\pi} \Rightarrow z^3=-e^{i\pi}[/mm]
> aber woher erkenne ich jetzt, dass das 1 ist??? könntet ihr
> mir vielleicht mal zeigen, wie man sowas erkennt oder wurde
> das dann in die trigonometrische Form umgeschrieben und
> dann ausgerechnet???
Also es gilt ja: [mm] e^{i\pi}=\cos(\pi)+i\sin(\pi)=-1+i*0=-1.
[/mm]
Hilft dir das?
Ebenso ist es hilfreich, zu wissen, dass [mm] e^{2\pi}=1, [/mm] was man auf die gleiche Weise herleitet.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Gut mir wird nämlich folgendes jetzt nicht so ganz klar. Ich soll alle Lösungen z [mm] \in \IC [/mm] der Gleichung [mm] z^2+2iz-1-4i [/mm] berechnen. Mit der p.q Formel komme ich auf folgendes Ergebnis:
[mm] z_{1,2}=-i\pm\wurzel{-1+1+4i}=-i+2\wurzel{i}
[/mm]
nun betrachte ich i:
[mm] w=\wurzel{i} \Rightarrow w^2=i=e^{i\bruch{\pi}{2}} [/mm] aber wie gehts jetzt weiter??? im Prinzip habe ich doch nun dazustehen:
[mm] -i+2e^{i\bruch{\pi}{2}} [/mm] oder nicht??? Kann ich damit weiterrechnen???
MFG domenigg135
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> Gut mir wird nämlich folgendes jetzt nicht so ganz klar.
> Ich soll alle Lösungen z [mm]\in \IC[/mm] der Gleichung [mm]z^2+2iz-1-4i[/mm]
> berechnen.
Hallo,
so recht 'ne Gleichung steht da ja nicht.
All mein Kombinationsvermügen zusammenraffend erkenne ich, daß Du gerne [mm] z^2+2iz-1-4i=0 [/mm] lösen möchtest.
Du könntest natürlich folgendes tun z=a+ib mit a,b reell.
Dies kannst Du in die Gleichung einsetzen, und mit einem Koeffizientenvergleich kannst Du dann a und b berechnen.
Mit der p.q Formel komme ich auf folgendes
> Ergebnis:
> [mm]z_{1,2}=-i\pm\wurzel{-1+1+4i}=-i\pm2\wurzel{i}[/mm]
Ja.
> nun betrachte ich i:
> [mm]w=\wurzel{i} \Rightarrow w^2=i=e^{i\bruch{\pi}{2}}[/mm]
Da nützt Dir nicht so viel, Du willst doch [mm] w=\wurzel{i} [/mm] wissen.
Das ist [mm] i^{\bruch{1}{2}=(i\bruch{\pi}{2}})^{\bruch{1}{2}=i\bruch{\pi}{4}}
[/mm]
> im Prinzip habe ich doch nun
> dazustehen:
> [mm]-i+2e^{i\bruch{\pi}{2}}[/mm] oder nicht???
Nein, aus oben erwähnten Gründen hast Du [mm] z=-i\pm2i\bruch{\pi}{4} [/mm] dastehen.
Jetzt könntest Du [mm] i\bruch{\pi}{4} [/mm] in die Darstellung a+ib umwandeln und anschließend z auch in dieser Darstellung darstellen.
Gruß v. Angela
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