Eulerfolge Beweis Ansatz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 So 28.11.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Es soll gezeigt werden dass gilt für alle $n [mm] \in \IN$: [/mm]
[mm] $(1+\frac{1}{n})^{n}\le \sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}}\le 1+\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{2^{k-1}}}$ [/mm] |
Hallo,
wie setze ich hier an?
Bernoulli gibt mir doch:
[mm] (1+\frac{1}{n})^{n}\ge [/mm] 2
aber das hilft mir nicht so wirklich...
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und danke für jeden Hinweis.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 So 28.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] (1+\frac{1}{n})^{n}=\summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\br{1}{n^k}=\summe_{k=0}^{n}\br{1}{k!}\br{n!}{(n-k)!*n^k}=\summe_{k=0}^{n}\br{1}{k!}\br{n*(n-1)* \ldots *(n-(k-1))*(n-k)* \ldots 1}{n^k*(n-k)* \ldots *1}=\summe_{k=0}^{n}\br{1}{k!}\br{n*(n-1)* \ldots *(n-(k-1))}{n^k}
[/mm]
Also ist [mm] (1+\frac{1}{n})^{n}\le \sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}}
[/mm]
weil [mm] \br{n}{n}*\br{n-1}{n} \ldots *\br{(n-(k-1))}{n}\le1
[/mm]
Jetzt ist noch zu zeigen das [mm] \br{1}{k!}\le\br{1}{2^{k-1}} [/mm] für [mm] k\ge [/mm] 1
für k=1 gilt die Aussage. [mm] \br{1}{(k+1)!}=\br{1}{k!*(k+1)}\le\br{1}{2^{k-1}}\br{1}{k+1}\le\br{1}{2^k}
[/mm]
Also ist alles bewiesen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Mo 29.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo ullim und danke vielmals!
Aber der Sinn war eigentlich dass ich die Aufgabe selber löse mit Hilfe eines Ansatzes.
Kennst du vielleicht noch eine Aufgabe die so ähnlich ist?
Danke nochmals!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Mo 29.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
tut mir leid das ich zuviel gemacht habe, spricht nur für dich sich zu beschweren.
Versuchs doch mal mit der Aufgabe:
Seien [mm] a_n=\left[1+\br{1}{n}\right]^n [/mm] und [mm] b_n=\left[1+\br{1}{n}\right]^{n+1} [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
Zeige:
a) [mm] a_n [/mm] ist monoton wachsend
b) [mm] b_n [/mm] ist monoton fallend
c) [mm] a_n
d) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=0
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Sa 04.12.2010 | | Autor: | kushkush |
Danke für die Aufgabe:
1.
a) zu zeigen: $ [mm] a_{n}=\left[1+\br{1}{n}\right]^n [/mm] $ monoton fallend.
also zu zeigen [mm] $a_{n+1} \le a_{n}$
[/mm]
[mm] $\left[1+\frac{1}{n+1}\right]^{n+1}<\left[1+\frac{1}{n}\right]^{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\br{1}{n^k}>\summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\br{1}{n^{k}}+\summe_{k=n}^{n+1}\binom{n+1}{n}\br{1}{n^{k}}$
[/mm]
aber wieso kann dann [mm] b_{n} [/mm] monoton fallend sein??
d) $ [mm] \limes_{n \rightarrow \infty}(b_{n}-a_{n})=0 [/mm] $ entspricht $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\frac{b_{n}}{a_{n}})=1 [/mm] $
hier reicht es doch, wenn ich [mm] \limes \frac{n}{n+1}=1 [/mm] bzw. [mm] \limes \frac{n+1}{n}=1 [/mm] betrachte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 So 05.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Danke für die Aufgabe:
>
>
> 1.
>
> a) zu zeigen: [mm] a_{n}=\left[1+\br{1}{n}\right]^n [/mm] monoton fallend.
In der Aufgabe stand [mm] a_n [/mm] ist monoton wachsend und nicht fallend.
> also zu zeigen [mm] a_{n+1} \le a_{n}
[/mm]
also muss gezeigt werden [mm] a_{n+1}\ge a_n. [/mm] Den Rest von Deiner Lösung zu Aufgabe a) brauch man jetzt nicht mehr zu betrachten.
> aber wieso kann dann [mm] b_{n} [/mm] monoton fallend sein??
Zu zeigen ist: [mm] b_{m+1}\le b_m
[/mm]
Einsetzen der Folge ergibt das zu zeigen ist [mm] \left[1+\br{1}{m+1}\right]^{m+2}\le \left[1+\br{1}{m}\right]^{m+1} [/mm] also ist
[mm] 1+\br{1}{m+1}\le \left[\br{1+\br{1}{m}}{1+\br{1}{m+1}}\right]^{m+1} [/mm] zu zeigen.
Tipp: bei a) und b) kann man die Bernoullische Ungleichung benutzen.
> d) [mm]\limes_{n \rightarrow \infty}(b_{n}-a_{n})=0[/mm] entspricht [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\frac{b_{n}}{a_{n}})=1
[/mm]
>
> hier reicht es doch, wenn ich [mm] \limes \frac{n}{n+1}=1 [/mm] bzw. [mm] \limes \frac{n+1}{n}=1 [/mm] betrachte?
Du musst aber zuerst beweisen das die Grenzwerte für die Folgen [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] existieren. Sonst gilt nicht [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\br{b_n}{a_n}=\br{\limes_{n\rightarrow\infty}b_n}{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n} [/mm] und somit auch nicht [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 So 06.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
a) zu zeigen: $a_{n}< a_{n+1}$
$(1+\frac{1}{n})^{n} \le (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$
$\Rightarrow 1+\frac{1}{n}\le (1+\frac{1}{n+1})^{\frac{n+1}{n} \ge 1+\frac{1}{n}$
b) $ 0\le \frac{1+n^{2}+2n-n^{2}-2n}{n(n+2)(n+1)}$
$\Rightarrow 0\le \frac{n+1}{n(n+2)}-\frac{1}{n+1}$
$\Rightarrow 1+ \frac{1}{n+1} \le 1+\frac{n+1}{n(n+2)} \le (1+\frac{1}{n})^{\frac{n+1}{n+2}}$
$\Rightarrow (1+\frac{1}{n+1})^{n+2} \le (1+\frac{1}{n})^{n+1}$
das zeigt $b_{n}$ monoton fallend
c) $0 < \frac{m(m+1)-1}{n}$ ist erfüllt $\forall \ n,m \in \IN$
$\Rightarrow 1+\frac{1}{n}< 1 + \frac{m(m+1)}{n} \le (1+\frac{1}{m})^{\frac{m+1}{n}}$
$\Rightarrow (1+\frac{1}{m})^{m+1} > (1+\frac{1}{n})^{n}$
d)$ \limes_{n \rightarrow \infty} (b_{n}-a_{n})= \limes_{n \rightarrow \infty}( (1+\frac{1}{n})^{n+1} - (1+\frac{1}{n})^{n} = \limes_{n \rightarrow \infty}(\frac{(1+\frac{1}{n})^{n}}{n} = 0$
Danke !
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo,
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> a) zu zeigen: [mm]a_{n}< a_{n+1}[/mm]
>
> [mm](1+\frac{1}{n})^{n} \le (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 1+\frac{1}{n}\le (1+\frac{1}{n+1} \ge 1+\frac{1}{n}[/mm]
Hiermit ist leider noch nichts gezeigt. Der Tipp ist ähnlich wie bei Aufgabe b) mit Bernoulli zu argumentieren.
Es ist [mm] 1\leq\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \gdw 1\leq\frac{(1+1/(n+1))^{n+1}}{(1+1/n)^{n}}\gdw
[/mm]
[mm] \frac{1}{1+1/n}\leq\left(\frac{1+1/(n+1)}{1+1/n}\right)^{n+1}\gdw
[/mm]
[mm] \frac{n}{n+1}\leq\left(\frac{(n+1)n+n}{(n+1)n+(n+1)}\right)^{n+1} \gdw
[/mm]
[mm] 1-\frac{1}{n+1}\leq\left(1-\frac{1}{(n+1)(n+1)}\right)^{n+1}
[/mm]
Das am Ende ist eine Aussage der Bernoulli Ungleichung.
Die b) geht vom Prinzip her ähnlich.
Habe leider jetzt erstmal keine Zeit mehr mich mit den anderen Teilaufgaben zu beschäftigen.
LG
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Hallo nochmal,
> c) [mm]0 < \frac{m(m+1)-1}{n}[/mm] ist erfüllt [mm]\forall \ n,m \in \IN[/mm]
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> [mm]\Rightarrow 1+\frac{1}{n}< 1 + \frac{m(m+1)}{n} \le (1+\frac{1}{m})^{\frac{m+1}{n}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (1+\frac{1}{m})^{m+1} > (1+\frac{1}{n})^{n}[/mm]
Verwende die Abschätzung [mm] \frac{m+1}{nm}\geq\frac{1}{n}, [/mm] dann stimmts. Beachte, dass hier der auf reelle Exponenten verallgemeinerte Bernoulli eingesetzt wird.
>
>
> d)[mm] \limes_{n \rightarrow \infty} (b_{n}-a_{n})= \limes_{n \rightarrow \infty}( (1+\frac{1}{n})^{n+1} - (1+\frac{1}{n})^{n} = \limes_{n \rightarrow \infty}(\frac{(1+\frac{1}{n})^{n}}{n} = 0[/mm]
Ok, denn der Zähler strebt gegen e.
Gruß
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