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Euler DGL inhomogen: inhomogen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:35 Di 02.03.2010
Autor: kuba

Hallo,

ich bin dabei folgende Aufgabe zu lösen:
[mm] x^2*\bruch{d^2x}{dt^2}+t*\bruch{dx}{dt}-x=3t^2 [/mm]

Mein Ansatz war der folgende:

[mm] x=e^t u(t)=y(e^t) [/mm]

u'(t)=x*y'(x)
[mm] u"(t)=x^2*y"(x)+x*y'(x)=x^2*y"(x)+u'(t) [/mm]
[mm] x^2*y"(x)=u"(t)-u'(t) [/mm]

Einsetzen in die Ausgangsgleichung liefert:
(u" - [mm] u')+u'-u=3*e^t*e^t [/mm]

I zunächst den homogenen Teil lösen:

u"-u=0
[mm] p^2-1=0 [/mm]

[mm] p_{1}=1 \Rightarrow c_{1}*e^t [/mm]

[mm] p_{2}=-1 \Rightarrow c_{1}*e^{-t} [/mm]

[mm] u_{h}=c_{1}*e^t [/mm] + [mm] c_{2}*e^{-t} [/mm]

Den partikulären Teil lösen

[mm] y_{p}=A*e^{2t} [/mm]
[mm] y'_{p}=2A*e^{2t} [/mm]
[mm] y''_{p}=4A*e^{2t} [/mm]

[mm] \Rightarrow 4A*e^{2t}-Ae^{2t}=3*e^{2t} [/mm]
3A=3
A=1

[mm] y_{p}=e^{2t} [/mm]

[mm] y=y_{h}+y_{p}= c_{1}*e^t [/mm] + [mm] c_{2}*e^{-t}+ e^{2t} [/mm]

Wenn ich das ganze zwei mal ableite und in die Ausgangsgleichung einsetze bekomme ich folgendes:

[mm] -\bruch{c_2}{x} -x^2 [/mm]

und dass stimmt nicht mit [mm] 3x^2 [/mm] überein.

Ich hoffe und bitte um eure Hilfe

Gruss Kuba
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Euler DGL inhomogen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:00 Di 02.03.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> Hallo,
>  
> ich bin dabei folgende Aufgabe zu lösen:
>  [mm]x^2*\bruch{d^2x}{dt^2}+t*\bruch{dx}{dt}-x=3t^2[/mm]

Steht da wirklich [mm] $x^2$ [/mm] vor der zweiten Ableitung? Wenn ja, dann stimmt deine Rechnung nicht. Ich nehme mal an, du meinst

[mm] t^2*\bruch{d^2x}{dt^2}+t*\bruch{dx}{dt}-x=3t^2[/mm]

> Mein Ansatz war der folgende:
>  
> [mm]x=e^t u(t)=y(e^t)[/mm]

Hier bringst du die Variablen durcheinander: in der DGL wird nach x(t) gesucht, dann wird bei dir aus x die unabhängige Variable.

> u'(t)=x*y'(x)
>  [mm]u"(t)=x^2*y"(x)+x*y'(x)=x^2*y"(x)+u'(t)[/mm]
>  [mm]x^2*y"(x)=u"(t)-u'(t)[/mm]
>  
> Einsetzen in die Ausgangsgleichung liefert:
>  (u" - [mm]u')+u'-u=3*e^t*e^t[/mm]
>  
> I zunächst den homogenen Teil lösen:
>  
> u"-u=0
>   [mm]p^2-1=0[/mm]
>  
> [mm]p_{1}=1 \Rightarrow c_{1}*e^t[/mm]
>
> [mm]p_{2}=-1 \Rightarrow c_{1}*e^{-t}[/mm]
>  
> [mm]u_{h}=c_{1}*e^t[/mm] + [mm]c_{2}*e^{-t}[/mm]
>  
> Den partikulären Teil lösen
>  
> [mm]y_{p}=A*e^{2t}[/mm]
>  [mm]y'_{p}=2A*e^{2t}[/mm]
>  [mm]y''_{p}=4A*e^{2t}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow 4A*e^{2t}-Ae^{2t}=3*e^{2t}[/mm]
>  3A=3
>  A=1
>  
> [mm]y_{p}=e^{2t}[/mm]
>  
> [mm]y=y_{h}+y_{p}= c_{1}*e^t + c_{2}*e^{-t}+ e^{2t}[/mm]

Bis auf das Durcheinander mit den Variablen stimmt's, die Lösung ist

[mm] x(t) = c_1t+\bruch{c_2}{t} +t^2 [/mm]

> Wenn ich das ganze zwei mal ableite und in die
> Ausgangsgleichung einsetze bekomme ich folgendes:
>  
> [mm]-\bruch{c_2}{x} -x^2[/mm]
>  
> und dass stimmt nicht mit [mm]3x^2[/mm] überein.

Poste mal deine Rechnung.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Euler DGL inhomogen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:20 Di 02.03.2010
Autor: kuba

Hallo Reiner,

ja die Gleichung lautete:

[mm] t^2*\bruch{dx}{dt^2} [/mm] + [mm] t*\bruch{dx}{dt} [/mm] -x = [mm] 3*t^2 [/mm]

Also ich habe genauso wie du  folgende Gleichung erhalten:

[mm] x(x)=c_{1}t [/mm] + [mm] \bruch{c_2}{t} [/mm] + [mm] t^2 [/mm]




Das habe ich dann abgeleitet:

[mm] x(x)=c_{1}t [/mm] + [mm] \bruch{c_2}{t} [/mm] + [mm] t^2 [/mm]
[mm] x'(t)=c_1 [/mm] - [mm] \bruch{c_2}{t^2} [/mm] + 2t
[mm] x"(t)=\bruch{c_2}{t^3} [/mm] +2

eingesetzt


[mm] t^2*(\bruch{c_{2}}{t^3} [/mm] +2) + [mm] t*(c_1 [/mm] - [mm] \bruch{c_2}{t^2} [/mm] + 2t) -( [mm] c_{1}t [/mm] + [mm] \bruch{c_2}{t} [/mm] + [mm] t^2) [/mm]

= [mm] (\bruch{c_2}{t} [/mm] + [mm] 2*t^2) [/mm]  + [mm] (t*c_1 [/mm] - [mm] \bruch{c_2}{t} [/mm] + [mm] 2t^2) [/mm] - [mm] c_{1}*t [/mm] - [mm] \bruch{c_{2}}{t} [/mm] - [mm] t^2 [/mm]

[mm] =3t^2- \bruch{c_2}{t} [/mm]

Wenn jetzt [mm] c_2 [/mm] Null wäre, dann würde die Lösung stimmen?

Bezug
                        
Bezug
Euler DGL inhomogen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 Di 02.03.2010
Autor: leduart

Hallo
Deine zweite Ableitung ist falsch. [mm] t^{-2} [/mm] abgeleitet ist [mm] -2*t^{-3} [/mm] bei dir fehlt die 2
Gruss leduart

Bezug
                        
Bezug
Euler DGL inhomogen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:47 Di 02.03.2010
Autor: kuba

Die Lösung ist

[mm] t^2*\bruch{dx}{dt^2} [/mm] + [mm] t*\bruch{dx}{dt} [/mm] -x = [mm] 3*t^2 [/mm]

Also ich habe genauso wie du  folgende Gleichung erhalten:

[mm] x(x)=c_{1}t [/mm] + [mm] \bruch{c_2}{t} [/mm] + [mm] t^2 [/mm]




Das habe ich dann abgeleitet:

[mm] x(x)=c_{1}t [/mm] + [mm] \bruch{c_2}{t} [/mm] + [mm] t^2 [/mm]
[mm] x'(t)=c_1 [/mm] - [mm] \bruch{c_2}{t^2} [/mm] + 2t
[mm] x"(t)=2\bruch{c_2}{t^3} [/mm] +2

eingesetzt


[mm] t^2*(\bruch{c_{2}}{t^3} [/mm] +2) + [mm] t*(c_1 [/mm] - [mm] \bruch{c_2}{t^2} [/mm] + 2t) -( [mm] c_{1}t [/mm] + [mm] \bruch{c_2}{t} [/mm] + [mm] t^2) [/mm]

= [mm] (2\bruch{c_2}{t} [/mm] + [mm] 2*t^2) [/mm]  + [mm] (t*c_1 [/mm] - [mm] \bruch{c_2}{t} [/mm] + [mm] 2t^2) [/mm] - [mm] c_{1}*t [/mm] - [mm] \bruch{c_{2}}{t} [/mm] - [mm] t^2 [/mm]

[mm] =3t^2 [/mm]



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