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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 So 14.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Betrachten Sie auf dem Intervall [mm] (0,\infty) [/mm] die folgende Euler- Differentialgleichung:
[mm] x^{2}y^{,,}-4xy^{,}+4y=x^{5}.
[/mm]
(a) Bestimmen Sie die Lösungen der homogenen Gleichung in der Form [mm] y_{H}(x)=x^{\alpha}.
[/mm]
(b) Begründen Sie, dass diese Lösungen linear unabhängig sind.
(c) Geben Sie alle Lösungen der homogenen Gleichung an und bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung mit der Variation der Konstanten. |
Hallo lieber Matheraum,
bezüglich der gestellten Aufgabe würde ich mich über eine Korrekturlesung sehr freuen. Mein Lösungsversuch lautet:
(a)
1.) Substitution [mm] x=e^{t}, u(t)=y(e^{t}) [/mm] liefert:
[mm] u^{..}-u^{.}-4u^{.}+4u=u^{..}-5u^{.}+4u=0
[/mm]
Dies ist eine homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
2.) Die charakteristische Gleichung lautet:
[mm] \lambda^{2}-5\lambda+4=0
[/mm]
und wir erhalten also
für [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] und
für [mm] \lambda_{2}=4
[/mm]
Das Lösungsfundamentalsystem liefert also
[mm] u(t)=c_{1}e^{t}+c_{2}e^{4t}, [/mm] mit [mm] c_{1},c_{2}\in\IR [/mm] (*)
(b)
Wir bestimmen die Wronski- Determinante im Zuge einer Rücksubstitution des Lösungsfundamentalsystems
[mm] \vmat{ x & x^{4} \\ 1 & 4x^{3} }=3x^{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] In jedem Intervall gibt es eine Stelle [mm] x_{1} [/mm] mit [mm] W(x_{1})=3x_{1}^{4}\not=0, [/mm] also sind x und [mm] x^{4} [/mm] auf jedem Intervall I linear unabhängig.
(c)
1.) Rücksubstitution von (*) liefert:
[mm] y_{H}=c_{1}x+c_{2}x^{4}, [/mm] mit [mm] c_{1},c_{2}\in\IR
[/mm]
Wir bilden die Inverse Wronski- Matrix, den Kehrwert der Wronski- Determinante und erhalten im Zuge der Berechnungen
für [mm] c_{1}^{,}=-\bruch{1}{3}x^{3} [/mm] und
für [mm] c_{2}^{,}=\bruch{1}{3}
[/mm]
Integration liefert:
[mm] c_{1}(x)=-\bruch{1}{12}x^{4} [/mm] und
[mm] c_{2}(x)=\bruch{1}{3}x
[/mm]
2.) Wir berechnen eine spezielle Lösung und können daher die Integrationskonstanten gleich 0 setzen. Es gilt
[mm] y_{S}=-\bruch{1}{12}x^{4}x+\bruch{1}{3}xx^{4}
[/mm]
Wir erhalten also
[mm] y_{S}=\bruch{1}{4}x^{5}
[/mm]
3.) Gemäß [mm] y=y_{H}+y_{S} [/mm] erhalten wir also
[mm] y(x)=x(c_{1}+c_{2}x^{3}+\bruch{1}{4}x^{4})
[/mm]
Ich bedanke mich recht herzlich. Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel08,
> Betrachten Sie auf dem Intervall [mm](0,\infty)[/mm] die folgende
> Euler- Differentialgleichung:
>
> [mm]x^{2}y^{,,}-4xy^{,}+4y=x^{5}.[/mm]
>
> (a) Bestimmen Sie die Lösungen der homogenen Gleichung in
> der Form [mm]y_{H}(x)=x^{\alpha}.[/mm]
>
> (b) Begründen Sie, dass diese Lösungen linear unabhängig
> sind.
>
> (c) Geben Sie alle Lösungen der homogenen Gleichung an und
> bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung mit der Variation der Konstanten.
> Hallo lieber Matheraum,
>
> bezüglich der gestellten Aufgabe würde ich mich über eine
> Korrekturlesung sehr freuen. Mein Lösungsversuch lautet:
>
>
>
>
> (a)
>
>
> 1.) Substitution [mm]x=e^{t}, u(t)=y(e^{t})[/mm] liefert:
>
>
> [mm]u^{..}-u^{.}-4u^{.}+4u=u^{..}-5u^{.}+4u=0[/mm]
>
>
> Dies ist eine homogene lineare Differentialgleichung 2.
> Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
>
>
>
> 2.) Die charakteristische Gleichung lautet:
>
>
> [mm]\lambda^{2}-5\lambda+4=0[/mm]
>
>
>
> und wir erhalten also
>
>
> für [mm]\lambda_{1}=1[/mm] und
>
> für [mm]\lambda_{2}=4[/mm]
>
>
>
> Das Lösungsfundamentalsystem liefert also
>
>
> [mm]u(t)=c_{1}e^{t}+c_{2}e^{4t},[/mm] mit [mm]c_{1},c_{2}\in\IR[/mm] (*)
>
>
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>
> (b)
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>
> Wir bestimmen die Wronski- Determinante im Zuge einer
> Rücksubstitution des Lösungsfundamentalsystems
>
>
> [mm]\vmat{ x & x^{4} \\ 1 & 4x^{3} }=3x^{4}[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] In jedem Intervall gibt es eine Stelle [mm]x_{1}[/mm]
> mit [mm]W(x_{1})=3x_{1}^{4}\not=0,[/mm] also sind x und [mm]x^{4}[/mm] auf
> jedem Intervall I linear unabhängig.
>
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> (c)
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>
> 1.) Rücksubstitution von (*) liefert:
>
>
> [mm]y_{H}=c_{1}x+c_{2}x^{4},[/mm] mit [mm]c_{1},c_{2}\in\IR[/mm]
>
>
>
> Wir bilden die Inverse Wronski- Matrix, den Kehrwert der
> Wronski- Determinante und erhalten im Zuge der
> Berechnungen
>
>
> für [mm]c_{1}^{,}=-\bruch{1}{3}x^{3}[/mm] und
>
> für [mm]c_{2}^{,}=\bruch{1}{3}[/mm]
>
>
>
> Integration liefert:
>
>
> [mm]c_{1}(x)=-\bruch{1}{12}x^{4}[/mm] und
>
> [mm]c_{2}(x)=\bruch{1}{3}x[/mm]
>
>
>
> 2.) Wir berechnen eine spezielle Lösung und können daher
> die Integrationskonstanten gleich 0 setzen. Es gilt
>
>
> [mm]y_{S}=-\bruch{1}{12}x^{4}x+\bruch{1}{3}xx^{4}[/mm]
>
>
>
> Wir erhalten also
>
>
> [mm]y_{S}=\bruch{1}{4}x^{5}[/mm]
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> 3.) Gemäß [mm]y=y_{H}+y_{S}[/mm] erhalten wir also
>
>
> [mm]y(x)=x(c_{1}+c_{2}x^{3}+\bruch{1}{4}x^{4})[/mm]
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>
Stimmt alles. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Ich bedanke mich recht herzlich. Gruß,
>
>
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>
>
> Marcel
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Ich danke dir. Sehr freundlich.
Gruß, Marcel
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