Euler-Zahlen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Di 27.03.2012 | | Autor: | amakha30 |
| Aufgabe | Definieren Sie die Euler-Zahlen und beweisen sie folgende Rekursion:
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = (k+1) [mm] \vektor{n-1 \\ k} [/mm] + (n-k) [mm] \vektor{n-1 \\ k-1}
[/mm]
--> Die Klammern für die Euler-Zahlen habe ich leider nicht gefunden! Es handelt sich also oben nicht um die Vektoren, sondern um die Euler-Zahl!! |
Die Definiton der Euler-Zahl ist mir klar:
Betrachtet man eine Permutation von 1,2,...,n als eine Sequenz [mm] x_{1}, x_{2},...,x_{n}, [/mm] dann kann man mit Hilfe der Euler-Zahl [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] bestimmen, wieviele Anstiege [mm] (x_{j}>x_{j-1}) [/mm] und Abstiege [mm] (x_{j}
Allerdings habe ich keinerlei Idee, um die Rekursion zu beweisen. Wäre nett, wenn mir da jemand paar Tipps geben könnte!
Danke schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo amakha30!
Versuch es mal mit Vollständiger Induktion nach n.
Hoffe,dass ich helfen konnte.
Viele Grüße
MarthaLudwig
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:50 Mi 28.03.2012 | | Autor: | amakha30 |
Es handelt sich bei den Klammern oben aber nicht um den Binomial-Koeffizient, sondern um die Euler-Klammern! Da kann ich doch nicht einfach eine Induktion machen!?
Allein der Anfang mit n=1 funktioniert doch schon nicht..
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> Definieren Sie die Euler-Zahlen und beweisen sie folgende
> Rekursion:
> [mm]\vektor{n \\ k}\ =\ (k+1)*\vektor{n-1 \\ k}\ +\ (n-k)*\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
>
> --> Die Klammern für die Euler-Zahlen habe ich leider
> nicht gefunden! Es handelt sich also oben nicht um die
> Vektoren, sondern um die Euler-Zahl!!
> Die Definiton der Euler-Zahl ist mir klar:
>
> Betrachtet man eine Permutation von 1,2,...,n als eine
> Sequenz [mm]x_{1}, x_{2},...,x_{n},[/mm] dann kann man mit Hilfe der
> Euler-Zahl [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] bestimmen, wieviele Anstiege
> [mm](x_{j}>x_{j-1})[/mm] und Abstiege [mm](x_{j}
> Permutation besitzt.
>
> Allerdings habe ich keinerlei Idee, um die Rekursion zu
> beweisen. Wäre nett, wenn mir da jemand paar Tipps geben
> könnte!
Hallo amakha30,
falls nicht die Eulersche Zahl e und auch nicht die
Binomialkoeffizienten gemeint sein sollen, musst du den
Begriff "Euler-Zahlen" zuerst einmal erläutern. Ich glaube
nicht, dass das ein allgemein geläufiger Begriff ist.
Wenn du die "richtigen" Klammern nicht findest, so
benütze doch eine andere Bezeichnung, etwa E(n,k).
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:18 Mi 28.03.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> falls nicht die Eulersche Zahl e und auch nicht die
> Binomialkoeffizienten gemeint sein sollen, musst du den
> Begriff "Euler-Zahlen" zuerst einmal erläutern.
da die ![[]](/images/popup.gif) Euler-Zahlen in der Wikipedia beschrieben werden ist das denke ich nicht noetig. (Auch wenn ich sie bisher ebenfalls nicht kannte.)
> Wenn du die "richtigen" Klammern nicht findest, so
> benütze doch eine andere Bezeichnung, etwa E(n,k).
Das ist eine gute Idee.
Zum Topic: die Schreibweise [mm] $\left<{ n \atop k }\right>$ [/mm] bekommt man via \left<{ n \atop k }\right>. Da ist $E(n, k)$ wesentlich einfacher zu schreiben...
LG Felix
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> Moin,
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> > falls nicht die Eulersche Zahl e und auch nicht die
> > Binomialkoeffizienten gemeint sein sollen, musst du
> den
> > Begriff "Euler-Zahlen" zuerst einmal erläutern.
>
> da die
> Euler-Zahlen in
> der Wikipedia beschrieben werden ist das denke ich nicht
> noetig. (Auch wenn ich sie bisher ebenfalls nicht kannte.)
>
> > Wenn du die "richtigen" Klammern nicht findest, so
> > benütze doch eine andere Bezeichnung, etwa E(n,k).
>
> Das ist eine gute Idee.
>
> Zum Topic: die Schreibweise [mm]\left<{ n \atop k }\right>[/mm]
> bekommt man via [mm][code]\left<{ n \atop k }\right>[/code].[/mm] Da
> ist [mm]E(n, k)[/mm] wesentlich einfacher zu schreiben...
>
> LG Felix
Danke Felix !
Bei einer zweiten Suche habe ich den Wikipedia-Artikel
auch eben gerade gefunden.
Gruß , Al
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 Mi 28.03.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Definieren Sie die Euler-Zahlen und beweisen sie folgende
> Rekursion:
> [mm]E(n, k)[/mm] = (k+1) [mm]E(n-1, k)[/mm] + (n-k)
> [mm]E(n-1, k-1)[/mm]
Du kannst ein Element aus [mm] $S_n$ [/mm] ja als Zahlenfolge [mm] $a_1, \dots, a_n$ [/mm] auffassen mit [mm] $\{ a_1, \dots, a_n \} [/mm] = [mm] \{ 1, \dots, n \}$.
[/mm]
Wenn du aus dieser Zahlenfolge $n$ herausschneidest, bekommst du eine Permutation von [mm] $\{ 1, \dots, n - 1 \}$.
[/mm]
Wenn die urspruengliche Zahlenfolge [mm] $a_1, \dots, a_n$ [/mm] genau $k$ Aufstiege hat (es also $k$ Indices $i$ gibt mit [mm] $a_i [/mm] < [mm] a_{i+1}$), [/mm] musst du dir ueberlegen wieviele Aufstiege die modifizierte Zahlenfolge haben kann.
Weiterhin musst du dir ueberlegen, wie du aus der modifizierten Zahlenfolge wieder die urspruengliche bekommen kannst (genauer: wieviele moegliche urspruengliche du bekommen kannst).
Wenn du das alles kombinierst, solltest du herausfinden wie du das beweisen kannst.
(Das ganze sauber aufzuschreiben ist dann allerdings ein Kapitel fuer sich...)
LG Felix
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