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Euler-Differentialgleichung: korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 Sa 28.06.2014
Autor: arbeitsamt

Aufgabe
Erweitern Sie den Substitutionsansatz (siehe Vorlesung) [mm] t=e^s, [/mm] x(t)=u(s) auf Euler-Gleichungen der Ordnung 4, um eine lineare Dgl. mit konstanten Koeffizienten zu erhalten.

[mm] t^4x^{(4)}+a_3t^3x```+a_2t^2x``+a_1tx`+a_0x=g(t) [/mm]

[mm] t=e^s [/mm]

[mm] u(s)=x(t)=x(e^s) [/mm]

[mm] u'(s)=x'(e^s)e^s=tx' [/mm]

[mm] u''(s)=x''(e^s)e^{2s}+x'(e^s)e^s=t^2x''+tx' [/mm]

[mm] u'''(s)=x'''(e^s)e^{3s}+2x''(e^s)e^{2s}+x''(e^s)+x'(e^s)e^s=t^3x'''+3t^2x''+tx' [/mm]

[mm] u''''(s)=x''''(e^s)e^{4s}+6e^{3s}x'''(e^s)+4x''(e^s)e^{2s}+x'(e^s)e^s=t^4x^{(4)}+6t^3x'''+4t^2x''+tx' [/mm]

sind die ableitungen richtig?

        
Bezug
Euler-Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Sa 28.06.2014
Autor: MathePower

Hallo arbeitsamt,

> Erweitern Sie den Substitutionsansatz (siehe Vorlesung)
> [mm]t=e^s,[/mm] x(t)=u(s) auf Euler-Gleichungen der Ordnung 4, um
> eine lineare Dgl. mit konstanten Koeffizienten zu
> erhalten.
>  
> [mm]t^4x^{(4)}+a_3t^3x'''+a_2t^2x''+a_1tx'+a_0x=g(t)[/mm]
>  [mm]t=e^s[/mm]
>  
> [mm]u(s)=x(t)=x(e^s)[/mm]
>  
> [mm]u'(s)=x'(e^s)e^s=tx'[/mm]
>  
> [mm]u''(s)=x''(e^s)e^{2s}+x'(e^s)e^s=t^2x''+tx'[/mm]
>  
> [mm]u'''(s)=x'''(e^s)e^{3s}+2x''(e^s)e^{2s}+x''(e^s)+x'(e^s)e^s=t^3x'''+3t^2x''+tx'[/mm]
>  
> [mm]u''''(s)=x''''(e^s)e^{4s}+6e^{3s}x'''(e^s)+4x''(e^s)e^{2s}+x'(e^s)e^s=t^4x^{(4)}+6t^3x'''+4t^2x''+tx'[/mm]
>  
> sind die ableitungen richtig?


Die ersten 3 Ableitungen sind richtig.

Die 4. Ableitung musst Du nochmal nachrechnen.
Der Faktor vor x'' stimmt nicht.

Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Euler-Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 Sa 28.06.2014
Autor: arbeitsamt

hallo,

ist die 3 ableitung richtig? ich habe da nämlich einen tippfehler

es sollte eigentlich heißen:

[mm] u'''(s)=x'''(e^s)e^{3s}+2x''(e^s)e^{2s}+x''(e^s)[red]e^{2s}[/red]+x'(e^s)e^s [/mm]

[mm] =x'''(e^s)e^{3s}+3x''(e^s)e^{2s}+x'(e^s)e^s [/mm]








Bezug
                        
Bezug
Euler-Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Sa 28.06.2014
Autor: MathePower

Hallo arbeitsamt,

> hallo,
>  
> ist die 3 ableitung richtig? ich habe da nämlich einen
> tippfehler
>  
> es sollte eigentlich heißen:
>  
> [mm]u'''(s)=x'''(e^s)e^{3s}+2x''(e^s)e^{2s}+x''(e^s)[red]e^{2s}[/red]+x'(e^s)e^s[/mm]
>  
> [mm]=x'''(e^s)e^{3s}+3x''(e^s)e^{2s}+x'(e^s)e^s[/mm]
>  


Ich habe nur das Endergebnis kontrolliert
und die 3. Ableitung ist richtig.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Euler-Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Sa 28.06.2014
Autor: arbeitsamt

ich komme letztendlich auf:

[mm] g(t)=u^{(4)}+u'''(a_3-6)+u''(11-3a_3+a_2)+u'(-6+3a_3-a_2+a_1)+a_0U=g(t) [/mm]

ich habe noch eine allgemeine frage:

im skript wird eine euler-dgl der 3 ordnung [mm] 0=t^3x'''+a_2*t^2x''+a_1*tx'+a_0x [/mm] mit folgender formel in eine dgl mit konstanten koeffizienten umgewandelt:


[mm] 0=u'''+(a_2-3)u''+(a_1-a_2+2)u'+a_0u [/mm]

meine frage: was ist, wenn vor der höchsten ableitung, hier x''', ein Koeffizient [mm] a_3 [/mm] steht? also:

[mm] 0=a_3*t^3x'''+a_2*t^2x''+a_1*tx'+a_0x [/mm]

die könnte ich dann nicht mehr der formel oben umwandeln. ist das überhaupt dann eine euler dgl?

Bezug
                                        
Bezug
Euler-Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 Sa 28.06.2014
Autor: MathePower

Hallo arbeitsamt,

> ich komme letztendlich auf:
>  
> [mm]g(t)=u^{(4)}+u'''(a_3-6)+u''(11-3a_3+a_2)+u'(-6+3a_3-a_2+a_1)+a_0U=g(t)[/mm]
>  


Der  Koeffizient bei u' muß [mm]-6+\blue{2}a_{3}-a_{2}+a_{1}[/mm] lauten.


> ich habe noch eine allgemeine frage:
>  
> im skript wird eine euler-dgl der 3 ordnung
> [mm]0=t^3x'''+a_2*t^2x''+a_1*tx'+a_0x[/mm] mit folgender formel in
> eine dgl mit konstanten koeffizienten umgewandelt:
>  
>
> [mm]0=u'''+(a_2-3)u''+(a_1-a_2+2)u'+a_0u[/mm]
>  
> meine frage: was ist, wenn vor der höchsten ableitung,
> hier x''', ein Koeffizient [mm]a_3[/mm] steht? also:
>  


Dividiere dann durch diesen Koeffizienten.


> [mm]0=a_3*t^3x'''+a_2*t^2x''+a_1*tx'+a_0x[/mm]
>  
> die könnte ich dann nicht mehr der formel oben umwandeln.
> ist das überhaupt dann eine euler dgl?


Gruss
MathePower

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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