Euklidischer Ring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Mi 15.08.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | | http://www.myimg.de/?img=ring47997.jpg |
Hallo Leute,
und zwar wollte ich fragen, warum ich bei der Abbildung [mm] \epsilon [/mm] die 0 rausnehmen muss. Doch nur, weil ich nicht durch 0 teilen darf oder?
Bei dem Beispiel mit [mm] \epsilon(a)=|a| [/mm] hätte ich doch auch genausogut [mm] \epsilon(a)=a [/mm] nehmen können ohne die 0 oder? Warum ist das in der Definition ausgeschlossen?
Danke schonmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Mi 15.08.2012 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Anton!
Was spricht denn hier dagegen, die Aufgabenstellung direkt einzutippen?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:32 Mi 15.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Das ist ja keine Aufgabenstellung sondern ein Auszug aus meinem Skript, der etwas lang ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Mi 15.08.2012 | | Autor: | Roadrunner |
.
> Das ist ja keine Aufgabenstellung sondern ein Auszug aus
> meinem Skript, der etwas lang ist.
Was meine Frage nicht beantwortet ... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Mi 15.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> http://www.myimg.de/?img=ring47997.jpg
>
> Hallo Leute,
>
> und zwar wollte ich fragen, warum ich bei der Abbildung
> [mm]\epsilon[/mm] die 0 rausnehmen muss. Doch nur, weil ich nicht
> durch 0 teilen darf oder?
>
> Bei dem Beispiel mit [mm]\epsilon(a)=|a|[/mm] hätte ich doch auch
> genausogut [mm]\epsilon(a)=a[/mm] nehmen können ohne die 0 oder?
> Warum ist das in der Definition ausgeschlossen?
Ich hab mir das Bild jetzt nicht angeschaut. Bei [mm] $\epsilon$ [/mm] scheint es sich um die "Gradabbildung" zu handeln?
Man kann diese auch fuer 0 definieren: es sollte [mm] $\epsilon(0) [/mm] < [mm] \epsilon(k)$ [/mm] fuer alle $k [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] gelten, ansonsten ist alles zugelassen. Also man kann etwa [mm] $\epsilon(0) [/mm] = -1$ oder [mm] $\epsilon(0) [/mm] = 0$ oder [mm] $\epsilon(0) [/mm] = [mm] -\infty$ [/mm] definieren. Da man das nicht zwingend braucht, kann man aber auch einfach [mm] $\epsilon(0)$ [/mm] nicht definieren.
Und zu [mm] $\epsilon(a) [/mm] = a$ (ich vermute mal es geht um den Ring [mm] $\IZ$): [/mm] was ist dann mit $a = -1$? Das Bild von Elementen [mm] $\neq [/mm] 0$ soll doch nicht-negativ (oder sogar positiv, je nach Definition) sein.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Mi 15.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Ok, das ist also eine Definitionsache, alles klar. Noch eine Sache und zwar haben wir die Definition dafür, wann ein Polynomring ein euklidischer Ring ist, es muss gelten [mm] \epsilon(P)=deg(P) [/mm] ist. Wenn ich nun ein Polynom habe ganz einfach [mm] X^2, [/mm] dann ist der grad davon ja 2, aber wie bilde ich [mm] \epsilon(X^2)? [/mm] Ich bekomme da doch nicht immer eine feste Zahl heraus, je nachdem wie [mm] \epsilon [/mm] aussieht oder? Wie könnte [mm] \epsilon [/mm] dafür überhaupt aussehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Mi 15.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok, das ist also eine Definitionsache, alles klar. Noch
> eine Sache und zwar haben wir die Definition dafür, wann
> ein Polynomring ein euklidischer Ring ist, es muss gelten
> [mm]\epsilon(P)=deg(P)[/mm] ist.
Das ist Quark.
Du willst sagen: wenn [mm] $\epsilon(P) [/mm] = [mm] \deg(P)$ [/mm] ist, dann ist der Polynomring [ueber einem Koerper] ein euklidischer Ring.
Versuch erstmal nachzuvollziehen, was der Unterschied zwischen meiner und deiner Aussage ist und warum deine falsch ist.
> Wenn ich nun ein Polynom habe ganz
> einfach [mm]X^2,[/mm] dann ist der grad davon ja 2, aber wie bilde
> ich [mm]\epsilon(X^2)?[/mm] Ich bekomme da doch nicht immer eine
> feste Zahl heraus, je nachdem wie [mm]\epsilon[/mm] aussieht oder?
> Wie könnte [mm]\epsilon[/mm] dafür überhaupt aussehen?
Na klar, [mm] $\epsilon(X^2)$ [/mm] haengt von [mm] $\epsilon$ [/mm] ab. Aber sobald du ein [mm] $\epsilon$ [/mm] fest gewaehlt hast, dann ist [mm] $\epsilon(X^2)$ [/mm] eine feste Zahl.
Im Fall [mm] $\epsilon(P) [/mm] = [mm] \deg(P)$ [/mm] ist [mm] $\epsilon(X^2) [/mm] = [mm] \deg(X^2) [/mm] = 2$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Mi 15.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Danke erstmal für die schnelle Antwort. Ich glaube wir schreiben gerade aneinander vorbei, der Auszug aus meinem Skript hat sich nicht auf die "Gradabbildung" bezogen. "Ok, das ist also eine Definitionsache, alles klar." Das war nur darauf bezogen, deine Antwort von vorher hat mir so gereicht, sehe ich ein, jetzt kam eine neue Frage bzgl. das Grades und Polynomringen, Ursprungsfrage ist geklärt, will ich damit sagen.
Ich kann mir [mm] \epsilon [/mm] halt nicht vorstellen, kann ich das was x-beliebiges wählen? Sagen wir:
[mm] \epsilon(P)=P^2+1
[/mm]
Somit wäre:
[mm] \epsilon(X^2)=X^4+1
[/mm]
Aber das ist doch keine Zahl, geschweigedenn 2, wo ist der Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Mi 15.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du kannst nichts beliebiges nehmen! [mm] \epsilon [/mm] muss schon natürliche Zahlen ausspucken. Außerdem muss es eben die andere Bedingung erfüllen, die im Skript steht, also dass man b durch a teilen kann im Sinne von es existieren q, r mit b=qa+r mit [mm] \epsilon(a)<\epsilon(r).
[/mm]
Setzt du [mm] \epsilon(P)=P^2+1, [/mm] dann bekommst du ja nicht einmal immer natürliche Zahlen raus, von der 2. Eigenschaft ganz zu schweigen.
Aber ich verstehe dein Problem. Ich kenne auch nicht so viele Normfunktionen. Für Polynome kann man den Grad nehmen, welcher alle Eigenschaften erfüllt. Für [mm] \IZ [/mm] gibt es den Betrag. Für [mm] \IZ [/mm] kannst du außerdem noch [mm] \epsilon_k(a)=|a|^k [/mm] nehmen für k =1,2,3,... .
Ein weiterer Ring wäre [mm] \IZ[i]=\{a+bi| a,b \in \IZ\}. [/mm] Die Normfunktion könnte man hier als [mm] \epsilon(z)=a^2+b^2=|z|^2 [/mm] wählen, wobei |z| der "normale" Betrag einer komplexen Zahl ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Mi 15.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Ok, dann danke euch, hat mich weiter gebracht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Mi 15.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Man kann z.B. nicht [mm] \epsilon(a)=a [/mm] nehmen, weil das alle schönen Eigenschaften von euklidischen Ringen kaputt macht. z.B. ist die Darstellung b=qa+r dann nicht mehr eindeutig und der euklidische Algorithmus funktioniert auch nicht mehr. Beispiel: Teile -1 durch 5.
$5=(-7)*(-1)+(-2)=(-8)*(-1)+(-3)=...$ Und es gilt stets [mm] \epsilon(a)<\epsilon(r).
[/mm]
Ferner beruht der euklidische Algorithmus, dass die Norm immer [mm] $\ge [/mm] 0$ ist und die Norm vom Rest echt immer kleiner wird. Deshalb kann der Algorithmus irgendwann auch mal aufhören (analog zu einer Folge, die streng monoton fällt aber nur positive Glieder hat [mm] \Rightarrow [/mm] Konvergenz!).
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