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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:18 Fr 12.09.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend alle zusammen!
Ich habe hier einen Satz, dessen Beweis ich nicht nachvollziehen kann.
Ich hoffe, dass mir jemand meine Fragen (rot) dazu erklären kann!
Satz :
Ein euklidischer Ring R ist ein Hauptidealring und ein Integritätsring.
( 1. Gehe ich richtig davon aus, dass man hier nur zeigen muss, dass es sich um einen Hauptidealring handelt, denn, da es ein euklidischer Ring ist , ist es somit auch ein Integritätsring ? )
Beweis :
Sei [mm] \mathfrak a [/mm] ein Ideal in R.
( 2. Man muss doch nun zeigen, dass jedes Ideal ein Hauptideal ist, richtig ? )
1.Fall:
[mm] \mathfrak a = \{ 0 \} = 0 \cdot R [/mm] .
( 3. Was macht man hier? Und warum ist damit dieser Fall abgeschlossen ? )
2. Fall:
[mm] \mathfrak a \ne \{ 0 \} [/mm] .
Sei [mm] M = \{ N(a) \ | \ a \in \mathfrak a , a \ne 0 \} \subseteq \mathbb N \cup \{ 0 \} [/mm].
( hier ist mir N die euklidische Norm gemeint )
M ist nicht leer.
( 4. Woher weiß man das die Menge nicht leer ist? Etwa weil man vorausgesetzt hat, dass [mm] \mathfrak a \ne \{ 0 \} [/mm] gilt? )
Sei m das kleinste Element in M und [mm] b \in \mathfrak a [/mm] mit N(b) = m .
Es gilt [mm] b \ne 0 [/mm].
( ab hier habe ich Probleme diese Inklusionen nachzuvollziehen :-( ! Ich Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand ab hier den Beweis erklären könnte!)
Weiter gilt [mm] b \cdot R \subseteq \mathfrak a [/mm].
Wir zeigen [mm] \mathfrak a \subseteq b \cdot R [/mm].
Sei [mm] a \in \mathfrak a [/mm] und [mm] a = q \cdot b + r [/mm] wie oben.
Wenn [mm] r = 0 [/mm], dann folgt [mm] a \in b \cdot R [/mm].
[mm] r \ne 0 [/mm] geht nicht, weil [mm] r = a - q \cdot b \in \mathfrak a [/mm] und N(r) < N(b) .
Nicht nur, dass ich diesen letzten Abschnitt nicht nachvollziehen kann , ich verstehe auch leider nicht, warum wir hier fertig sind und warum die euklidische Norm an Ende benutzt wird ...
Viele Dank für die Hilfe im Voraus!
Viele Grüße
Irmchen
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> Guten Abend alle zusammen!
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> Ich habe hier einen Satz, dessen Beweis ich nicht
> nachvollziehen kann.
> Ich hoffe, dass mir jemand meine Fragen (rot) dazu
> erklären kann!
>
> Satz :
>
> Ein euklidischer Ring R ist ein Hauptidealring und ein
> Integritätsring.
>
> ( 1. Gehe ich richtig davon aus, dass man hier nur zeigen
> muss, dass es sich um einen Hauptidealring handelt, denn,
> da es ein euklidischer Ring ist , ist es somit auch ein
> Integritätsring ? )
Ja, ich denke du meinst das Richtige. Das kommt eventuell ein klein bisschen auf eure Definition von Hauptidealring an (bei uns wurde nochmal zwischen HIR und Hauptidealbereich unterschieden).
>
> Beweis :
>
> Sei [mm]\mathfrak a[/mm] ein Ideal in R.
>
> ( 2. Man muss doch nun zeigen, dass jedes Ideal ein
> Hauptideal ist, richtig ? )
Ja.
>
> 1.Fall:
>
> [mm]\mathfrak a = \{ 0 \} = 0 \cdot R[/mm] .
>
> ( 3. Was macht man hier? Und warum ist damit dieser Fall
> abgeschlossen ? )
Man behandelt das Nullideal separat, also zeigt man hier, dass dieses von 0 erzeugt wird, d.h. ein Hauptideal ist.
>
> 2. Fall:
>
> [mm]\mathfrak a \ne \{ 0 \}[/mm] .
> Sei [mm]M = \{ N(a) \ | \ a \in \mathfrak a , a \ne 0 \} \subseteq \mathbb N \cup \{ 0 \} [/mm].
>
> ( hier ist mir N die euklidische Norm gemeint )
>
> M ist nicht leer.
> ( 4. Woher weiß man das die Menge nicht leer ist? Etwa
> weil man vorausgesetzt hat, dass [mm]\mathfrak a \ne \{ 0 \}[/mm]
> gilt? )
Genau 
>
> Sei m das kleinste Element in M und [mm]b \in \mathfrak a[/mm] mit
> N(b) = m .
> Es gilt [mm]b \ne 0 [/mm].
>
> ( ab hier habe ich Probleme diese Inklusionen
> nachzuvollziehen :-( ! Ich Wäre sehr dankbar, wenn mir
> jemand ab hier den Beweis erklären könnte!)
>
> Weiter gilt [mm]b \cdot R \subseteq \mathfrak a [/mm].
Weil b in [mm] $\mathfrak [/mm] a$ liegt, ist das von b erzeugte Ideal eine Teilmenge von [mm] $\mathfrak [/mm] a$.
> Wir zeigen
> [mm]\mathfrak a \subseteq b \cdot R [/mm].
Logisch, damit man Gleichheit bekommt.
> Sei [mm]a \in \mathfrak a[/mm]
> und [mm]a = q \cdot b + r[/mm] wie oben.
Wir wenden die Division mit Rest an, die wir ja haben, weil der Ring euklidisch ist. Jetzt benutzen wir, dass b hinsichtlich der Norm N minimal gewählt wurde:
> Wenn [mm]r = 0 [/mm], dann folgt [mm]a \in b \cdot R [/mm].
Klar, denke ich? Das hieße ja a=qb.
>
> [mm]r \ne 0[/mm] geht nicht, weil [mm]r = a - q \cdot b \in \mathfrak a [/mm]
> und N(r) < N(b) .
Es liegt zuerst einmal [mm] $r\in\mathfrak [/mm] a$: [mm] $qb\in\mathfrak [/mm] a$ wegen [mm] $b\in\mathfrak [/mm] a$ und der Idealeigenschaft, weiterhin ist auch [mm] $a\in\mathfrak [/mm] a$ und damit auch die Differenz [mm] $a-qb=r\in\mathfrak [/mm] a$.
In diesem Fall wäre aber nach den Eigenschaften der Division mit Rest N(r)<N(b) (s. Definition eukl. Ring). Wir haben aber b so gewählt, dass N(b) minimal in M ist (wo auch N(r) drin ist wegen [mm] $r\in\mathfrak [/mm] a$).
Das heißt: Widerspruch zur Minimalität von b bzgl. N.
Also muss $r=0$ sein, was ja aber heißt, dass wegen beliebiger Wahl von a immer gilt: [mm] $a=qb\in [/mm] bR$ und damit [mm] $\mathfrak a\subseteq [/mm] bR$.
Beide Inklusionen haben wir nun, also [mm] $bR=\mathfrak [/mm] a$ --> Hauptideal.
> Nicht nur, dass ich diesen letzten Abschnitt nicht
> nachvollziehen kann , ich verstehe auch leider nicht, warum
> wir hier fertig sind und warum die euklidische Norm an Ende
> benutzt wird ...
>
> Viele Dank für die Hilfe im Voraus!
>
> Viele Grüße
> Irmchen
Ich hoffe, das konnte helfen, viele Grüße
Johannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Fr 12.09.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Vielen lieben Dank!!!
Ich habe es nun verstanden.
Viele liebe Grüße
Irmchen
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