Euklidischer Ring < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Di 09.05.2006 | | Autor: | alaffm |
Hallo. Wie kann ich zeigen, dass der Ring Z[i] der ganzen Gauschen Zahlen mit der Abbildung g(a +ib) = [mm] ||a+ib||^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] Euklidisch ist??
Kann mir jemand ein paar Tips dazu geben,bitte?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
na ja dafür brauchst du ja zunächst mal eine Normfunktion [mm] N:\IZ[i]\to\IN_{0}, [/mm] wobei man die 0 aus [mm] \IZ[i] [/mm] rausnehmen muss. N ist definiert durch [mm] N(a+bi)=a^{2}+b^{2}. [/mm] Seien nun [mm] n,m\in\IZ_[i], m\not=0. [/mm] Dann ist zu zeigen: [mm] \exists q\in\\IZ_[i] [/mm] mit N(n-qm)<N(m) bzw. [mm] N(\bruch{n}{m}-q). [/mm] Beachte dabei, dass N multiplikativ ist. Betrachte der Anschauung halber das Problem in der Gauss'schen Zahlenebene! Dann wird es noch klarer! Alles klar?
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:07 Mi 10.05.2006 | | Autor: | alaffm |
Also,es ist mir gar nicht klar,worum es hier geht.Kannst du mir das näher erklären,bitte??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 12.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Mi 10.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo. Wie kann ich zeigen, dass der Ring Z der ganzen
> Gauschen Zahlen mit der Abbildung g(a +ib) = [mm]||a+ib||^2[/mm] =
> [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2[/mm] Euklidisch ist??
> Kann mir jemand ein paar Tips dazu geben,bitte?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
So. Die Normabbildung hast du ja schon.
Jetzt musst du dir zwei Elemente $d, f [mm] \in \IZ[i]$ [/mm] nehmen mit $d [mm] \neq [/mm] 0$ und $q, r [mm] \in \IZ[i]$ [/mm] finden mit $f = q d + r$ und $r = 0$ oder $g(r) < g(d)$.
Wenn du die Gleichung durch $d$ teilst (du kannst ja in [mm] $\IC$ [/mm] rechnen), erhaelst du [mm] $\frac{f}{d} [/mm] = q + [mm] \frac{r}{d}$, [/mm] und [mm] $g(\frac{r}{d}) [/mm] < 1$.
Du musst also zu [mm] $\frac{f}{d} \in \IC$ [/mm] ein $q [mm] \in \IZ[i]$ [/mm] finden so, dass $g(r) = [mm] g(\frac{f}{d} [/mm] - q) < 1$ ist.
Wenn du mal ein paar Elemente aus [mm] $\IZ[i]$ [/mm] in der komplexen Ebene einzeichnest bekommst du vielleicht eine Idee...
LG Felix
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(Frage) überfällig | | Datum: | 20:38 Mi 11.06.2008 | | Autor: | daN-R-G |
Da ich momentan an einer ähnlichen Aufgabe sitze, hole ich den Thread einfach nochmal aus der Versenkung.
Ich habe da eine konkrete Frage: Wieso weiß man denn, dass [mm] g(\bruch{r}{d}) [/mm] < 1 gilt? Das wird mir hier zumindest noch nicht so ganz klar. Vll. kann mir da ja jemand helfen ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Fr 13.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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