matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGruppe, Ring, KörperEuklidischer Algorithmus
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Euklidischer Algorithmus
Euklidischer Algorithmus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Euklidischer Algorithmus: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:03 Di 30.04.2013
Autor: nbt

Aufgabe
Seien [mm]m,n\in\IN_{>0}[/mm]. Zeigen Sie mit Hilfe des euklidischen Algorithmus, dass in [mm]K[X][/mm] gilt: [mm]ggT(X^n-1,X^m-1)=X^{ggT(m,n)}-1[/mm]

Hi,
ich habs bei der Aufgabe zuerst mit Induktion versucht:
Induktion über m:
I.A.: $m=1$:
                    Induktion über n:
                    I.A.: $n=1$: RS: [mm] $X^{ggT(1,1)}-1=X-1$ [/mm]
                                        LS: $ggT(X-1,X-1)=X-1$ Passt.
                    I.S.: [mm] $n\to [/mm] n+1$: [mm] ggT(X^{n+1}-1,X-1)=X-1 [/mm] ist klar.
I.V.: [mm] $ggT(X^n-1,X^m-1)=X^{ggT(m,n)}-1$ [/mm]
I.S.: [mm] $m\to [/mm] m+1$
                    Induktion über n:
                    I.A.: $n=1$: [mm] $ggT(X-1,X^{m+1}-1)=X^{ggT(1,m+1)}-1$ [/mm]
                    I.V.: [mm] $ggT(X^n-1,X^{m+1}-1)=X^{n,m+1}-1$ [/mm]
                    I.S.: [mm] $n\to [/mm] n+1$
                           Z.Z.: [mm] $ggT(X^{n+1}-1,X^{m+1}-1)=X^{ggT(n+1,m+1)}-1$ [/mm]
Aber genau da wiederholt sich ja alles! Ich hab mir auch schonmal die ersten paar Iterationen vom euklidischen Algorithmus hingeschrieben und ein Schema in der Entwicklung des Grades vom Restpolynom und vom Koeffizientenpolynom gesehn, aber ich bin dann trotzdem ned auf einen grünen Zweig gekommen.
Wär super, wenn mir jemand einen Hinweis geben könnte.
Vielen Dank,
nBt

        
Bezug
Euklidischer Algorithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:03 Di 30.04.2013
Autor: reverend

Hallo nbt,

ich würde Dir eine andere Vorgehensweise vorschlagen und gehe daher nicht auf Deinen Induktionsversuch ein. Nebenbei klappt Induktion bei ggT-Aufgaben meistens schlecht, wenn überhaupt. ;-)

Sei [mm] g:=\ggT{(m,n)}. [/mm]

Dann kannst Du explizit angeben (Polynomdivision!), was [mm] (x^m-1)/(x^g-1) [/mm] bzw. [mm] (x^n-1)/(x^g-1) [/mm] ist.

Zeige dann mittels des euklidischen Algorithmus, dass diese beiden Polynome teilerfremd sind. Das geht in einem Schritt.

Viel Erfolg dabei!
Grüße
reverend

Bezug
                
Bezug
Euklidischer Algorithmus: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Mi 01.05.2013
Autor: nbt

Ah danke reverend, ich versteh dein Idee, denn es gilt:
[mm] $ggT(\frac{X^n-1}{X^g-1},\frac{X^m-1}{X^g-1})=\frac{1}{X^g-1}ggT(X^n-1,X^m-1)$. [/mm] Teilerfremdheit bedeutet, der ggT ist gleich Eins und damit würde die Behauptung folgen.
Aber bei der Ausführung haperts: Zunächst: Sei [mm] $q\in\IN$, [/mm] sodass $m-qg=0$ und [mm] $p\in\IN$, [/mm] sodass $n-pg=0$. Außerdem sei $n>m$.
[mm] $(X^m-1)/(X^g-1)=X^{m-g}+X^{m-2g}+...+1$ [/mm]
[mm] $(X^n-1)/(X^g-1)=X^{n-g}+X^{n-2g}+...+1$ [/mm]
[mm] $(X^{n-g}+X^{n-2g}+...+1)=X^{n-m}(X^{m-g}+X^{m-2g}+...+1)-X^{n-qg}+1$. [/mm]
Ich glaub nicht, dass man so irgendwann auf nen Nullrest kommt.
Danke für die Geduld ;)
Grüße,
nBt

Bezug
                        
Bezug
Euklidischer Algorithmus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:44 Mi 01.05.2013
Autor: hippias

Statt Polynomdivision: Du kennst die Gleichung fuer die geometrische Reihe: [mm] $\sum_{i=0}^{n-1} Y^{i}= \frac{Y^{n}-1}{Y-1}$ ($Y\neq [/mm] 1$). Wende dies an auf $Y:= [mm] X^{g}$. [/mm]

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]