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Erzeugnis von Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:55 Do 13.01.2011
Autor: hilbert

Aufgabe
Sei X eine nichtleere Menge und K ein Körper. Weiter ist für jedes x [mm] \in [/mm] X definiert:

[mm] i_x: [/mm] X -> K , [mm] i_x(y) [/mm] ist 1 wenn y = x, sonst 0.


Zeige:
Für [mm] S=(i_x [/mm] | x [mm] \in [/mm] X) gilt:

Abb(X,K) = < S >  <=> X ist endliche Menge.

Hier fehlt mir schon der Ansatz =/

"=>" Wäre ja aus Abb(X,K) = < S > zu folgern, dass X nur endlich sein kann.

Ich habe mir gedacht, wenn ich aus den Linearkombinationen aller [mm] i_x [/mm] die ganze Abbildung von X nach K darstellen kann, so muss doch die Abb endlich sein und damit X. Aber das ist wahrscheinlich totaler humbug.

"<=" Wenn X endlich ist, so habe ich k Elemente aus X und damit k verschiedene [mm] i_x. [/mm] Diese [mm] i_x [/mm] bilden aber jedoch schon die ganze Abb(X,K), somit wäre <S> = Abb(X,K)

Leider komm ich bei beiden nicht so vorran.

Vielen Dank schonmal im Voraus.

hilbert


        
Bezug
Erzeugnis von Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:40 Do 13.01.2011
Autor: gfm


> Sei X eine nichtleere Menge und K ein Körper. Weiter ist
> für jedes x [mm]\in[/mm] X definiert:
>  
> [mm]i_x:[/mm] X -> K , [mm]i_x(y)[/mm] ist 1 wenn y = x, sonst 0.
>  
>
> Zeige:
>  Für [mm]S=(i_x[/mm] | x [mm]\in[/mm] X) gilt:
>  
> Abb(X,K) = < S >  <=> X ist endliche Menge.

>  Hier fehlt mir schon der Ansatz =/
>  
> "=>" Wäre ja aus Abb(X,K) = < S > zu folgern, dass X nur
> endlich sein kann.
>  
> Ich habe mir gedacht, wenn ich aus den Linearkombinationen
> aller [mm]i_x[/mm] die ganze Abbildung von X nach K darstellen kann,
> so muss doch die Abb endlich sein und damit X. Aber das ist
> wahrscheinlich totaler humbug.
>  
> "<=" Wenn X endlich ist, so habe ich k Elemente aus X und
> damit k verschiedene [mm]i_x.[/mm] Diese [mm]i_x[/mm] bilden aber jedoch
> schon die ganze Abb(X,K), somit wäre <S> = Abb(X,K)
>  
> Leider komm ich bei beiden nicht so vorran.
>  
> Vielen Dank schonmal im Voraus.

Ist nicht so ganz meine Welt. Daher nur so als Idee:

Wenn ich mich richtig erinnere ist die Linerare Hülle <S> einer Teilmenge S eines Vektoraums definiert als [mm] :=\left\{\summe_{i=1}^n f_i v_i:f_i\in \IK, v_i\in S;n\in \IN\right\}. [/mm] Betrachte nun [mm] f=\summe_{x\in X}f(x)*i_x. [/mm]

LG

gfm

Bezug
        
Bezug
Erzeugnis von Abbildungen: Cross-Posting
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:32 Do 13.01.2011
Autor: angela.h.b.

Hallo,

bitte beachte in Zukunft die Forenregeln und weise darauf hin, wenn Du dieselbe Frage auch in anderen Foren gestellt hast.

Gruß v. Angela


Bezug
        
Bezug
Erzeugnis von Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:16 Do 13.01.2011
Autor: hilbert

Hier habe ich die Frage bereits gestellt.
Leider vergessen.

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=441785

Bezug
        
Bezug
Erzeugnis von Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:51 Do 13.01.2011
Autor: angela.h.b.


> Sei X eine nichtleere Menge und K ein Körper. Weiter ist
> für jedes x [mm]\in[/mm] X definiert:
>  
> [mm]i_x:[/mm] X -> K , [mm]i_x(y)[/mm] ist 1 wenn y = x, sonst 0.
>  
>
> Zeige:
>  Für [mm]S=(i_x[/mm] | x [mm]\in[/mm] X) gilt:
>  
> Abb(X,K) = < S >  <=> X ist endliche Menge.

>  Hier fehlt mir schon der Ansatz =/
>  
> "=>" Wäre ja aus Abb(X,K) = < S > zu folgern, dass X nur
> endlich sein kann.
>  
> Ich habe mir gedacht, wenn ich aus den Linearkombinationen
> aller [mm]i_x[/mm] die ganze Abbildung von X nach K darstellen kann,
> so muss doch die Abb endlich sein und damit X. Aber das ist
> wahrscheinlich totaler humbug.
>  
> "<=" Wenn X endlich ist, so habe ich k Elemente

[mm] x_1,...,x_k [/mm]

> aus X und
> damit k verschiedene [mm]i_x.[/mm]

Hallo,

ja, genau.

> Diese [mm]i_x[/mm] bilden aber jedoch
> schon die ganze Abb(X,K),

Was meinst Du damit?

Du mußt jetzt konkret vormachen, wie Du jedes beliebige [mm] f\in [/mm] Abb(X,K) als Linearkombination der [mm] i_{x_j} [/mm] schreiben kannst.

Wenn es Dir schwerfällt, kannst Du die Aufgabe ja mal als Vorübung für die Menge [mm] X:=\{1,2,3\} [/mm] und [mm] K=\IR [/mm] durchspielen.

> somit wäre < S > = Abb(X,K)


Nun zur anderen Richtung.

z.z.:

> Abb(X,K) = < S > ==> X ist endliche Menge.

Der Schlüssel liegt hier in der Def. von Linearkombination.

Nimm mal an, es würde Abb(X,K) von S erzeugt, und es wäre X nicht endlich.

Betrachte nun die Abbildung [mm] f:X\to [/mm] K mit f(x):=1.
Du könntest diese dann als Linearkombination der [mm] i_x [/mm] erzeugen...

Gruß v. Angela








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