Erzeugnis einer Gruppe < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 So 08.03.2009 | | Autor: | Klemme |
| Aufgabe | | Natürlich kann man eine abelsche Gruppe auch multiplikativ schreiben. Sei [mm] (G,\circ [/mm] ) so eine Gruppe. Wie lautet dann das Erzeugnis von g1,...gk [mm] \in [/mm] G? Wie lautet z.B. das Erzeugnis von 2,3,5 [mm] \in \IQ [/mm] *? Sind die Untergruppen [2] und [-2] von [mm] \IQ [/mm] * identisch? |
Hallo,
ich gehe gerade noch mal mein Script durch und bin da über obige Frage gestolpert. Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich das richtig verstanden habe, deshalb wäre es nett wenn sich das noch mal jemand anschaut.
Das Erzeugnis von g1,...gk [mm] \in [/mm] G lautet:
<g1,...,gk>:= {z1g1 * ...*zkgk|zi [mm] \in \IZ [/mm] }
Das Erzeugnis von 2,3,5 [mm] \in \IQ [/mm] * lautet:
<2,3,5>:= {z12*z23*z35}
(Oder werden die Zahlen einfach nur miteinander multipliziert?)
Die Untergruppen sind nicht identisch, da sie nicht das gleiche inverse Element haben.
Für Korrekturen und Tipps wäre ich sehr dankbar.
LG
Klemme
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 So 08.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Natürlich kann man eine abelsche Gruppe auch multiplikativ
> schreiben. Sei [mm](G,\circ[/mm] ) so eine Gruppe. Wie lautet dann
> das Erzeugnis von g1,...gk [mm]\in[/mm] G? Wie lautet z.B. das
> Erzeugnis von 2,3,5 [mm]\in \IQ[/mm] *? Sind die Untergruppen [2]
> und [-2] von [mm]\IQ[/mm] * identisch?
> Hallo,
>
> ich gehe gerade noch mal mein Script durch und bin da über
> obige Frage gestolpert. Ich bin mir aber nicht sicher, ob
> ich das richtig verstanden habe, deshalb wäre es nett wenn
> sich das noch mal jemand anschaut.
>
> Das Erzeugnis von g1,...gk [mm]\in[/mm] G lautet:
> [mm] $:=\{z1g1 * ...*zkgk|zi \in \IZ \}$
[/mm]
Was soll denn [mm] $z\cdot [/mm] g$ für [mm] $g\in [/mm] G$ und [mm] $z\in\IZ$ [/mm] überhaupt bedeuten?
Du meinst sicherlich [mm] $$g^z:=\begin{cases}1&\text{falls} z=0\\\underbrace{g*g*...g}_{\text{z-mal}}&\text{falls} z>0\\(g^{-z})^{-1}&\text{falls} z<0\end{cases}$$
[/mm]
> Das Erzeugnis von 2,3,5 [mm]\in \IQ[/mm] * lautet:
> $<2,3,5>:= [mm] \{z12*z23*z35\}$
[/mm]
> (Oder werden die Zahlen einfach nur miteinander
> multipliziert?)
>
> Die Untergruppen sind nicht identisch, da sie nicht das
> gleiche inverse Element haben.
Das ist Unsinn, in [mm] $(\IZ/3\IZ,+)$ [/mm] erzeugen z.B. 1 und 2 dieselbe Untergruppe, obwohl sie "unterschiedliche Inverse haben". Finde ein Element in $[-2]$, das nicht in $[2]$ liegt.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 So 08.03.2009 | | Autor: | Klemme |
> > Das Erzeugnis von g1,...gk [mm]\in[/mm] G lautet:
> > [mm]:=\{z1g1 * ...*zkgk|zi \in \IZ \}[/mm]
>
> Was soll denn [mm]z\cdot g[/mm] für [mm]g\in G[/mm] und [mm]z\in\IZ[/mm] überhaupt
> bedeuten?
> Du meinst sicherlich [mm]g^z:=\begin{cases}1&\text{falls} z=0\\\underbrace{g*g*...g}_{\text{z-mal}}&\text{falls} z>0\\(g^{-z})^{-1}&\text{falls} z<0\end{cases}[/mm]
Vielleicht kann man das auch so schreiben? :
[mm] :=\{g1^{n1} * ...*gk^{nk} |ni \in \IZ \}
[/mm]
> > Die Untergruppen sind nicht identisch, da sie nicht das
> > gleiche inverse Element haben.
> Das ist Unsinn, in [mm](\IZ/3\IZ,+)[/mm] erzeugen z.B. 1 und 2
> dieselbe Untergruppe, obwohl sie "unterschiedliche Inverse
> haben". Finde ein Element in [mm][-2][/mm], das nicht in [mm][2][/mm] liegt.
In [-2] liegt natürlich [mm] (-2)^n [/mm] mit n [mm] \in \IZ [/mm] und das liegt nicht in [2].
Wie klingt das jetzt?
LG
Klemme
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> > > Das Erzeugnis von g1,...gk [mm]\in[/mm] G lautet:
> > > [mm]:=\{z1g1 * ...*zkgk|zi \in \IZ \}[/mm]
Hallo,
bitte setze in Zukunft Indizes. Das macht wenig Mühe, steigert die Lesbarkeit jedoch sehr.
Es sieht mir sehr danch aus, als hättest Du in der Vorlesung etwas falsch mitgeschrieben:
Ich nehme an, daß G eine additive Gruppe sein soll, und nun erklärt wird, was das Erzeugnis von [mm] \{g_1,...,g_k\} [/mm] ist.
Richtig wäre [mm] g1,...,gk>:=\{z_1g_1 + ...+z_kg_k|z_i \in \IZ \}.
[/mm]
Ein bißchen stutzt man zunächst (warum), wenn man [mm] z_ig_i [/mm] sieht. Informiere Dich, was damit gemeint ist.
> Vielleicht kann man das auch so schreiben? :
> [mm]:=\{g1^{n1} * ...*gk^{nk} |ni \in \IZ \}[/mm]
Ja, genau. das ist die multiplikative Schreibweise.
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> > > Die Untergruppen sind nicht identisch, da sie nicht das
> > > gleiche inverse Element haben.
> > Das ist Unsinn, in [mm](\IZ/3\IZ,+)[/mm] erzeugen z.B. 1 und 2
> > dieselbe Untergruppe, obwohl sie "unterschiedliche Inverse
> > haben". Finde ein Element in [mm][-2][/mm], das nicht in [mm][2][/mm] liegt.
>
> In [-2] liegt natürlich [mm](-2)^n[/mm] mit n [mm]\in \IZ[/mm] und das liegt
> nicht in [2].
>
> Wie klingt das jetzt?
Ich weiß zwar nicht, was die eckigen Klammern bedeuten, wenn's um das Erzeugnis geht, bin ich überzeugt.
Gruß v. Angela
> LG
>
> Katrin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 08.03.2009 | | Autor: | Klemme |
> Hallo,
>
> bitte setze in Zukunft Indizes. Das macht wenig Mühe,
> steigert die Lesbarkeit jedoch sehr.
Gut ich werde daran denken
> Es sieht mir sehr danch aus, als hättest Du in der
> Vorlesung etwas falsch mitgeschrieben:
>
> Ich nehme an, daß G eine additive Gruppe sein soll, und nun
> erklärt wird, was das Erzeugnis von [mm]\{g_1,...,g_k\}[/mm] ist.
Ja ich war da etwas verwirrt, aber jetzt weiß ich endlich, was wann gesucht ist. Wenn mans einmal verstanden hat ist es gar nicht so schwer :)
> Ich weiß zwar nicht, was die eckigen Klammern bedeuten,
> wenn's um das Erzeugnis geht, bin ich überzeugt.
>
> Gruß v. Angela
Ja das soll das Erzeugnis sein. Die Klammern die eigentlich da stehen sind ähnlich wie < >, aber mehr gestreckt.
Danke für die Hilfe.
LG
Klemme
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