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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Mi 18.12.2013 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Allgemeine Frage:
Was meint das Erzeugnis eines Vektorraumes? |
Hi, ich habe eine allgemeine Frage zum Erzeugnis von Untervektorräumen.
Dies ist doch eigentlich einfach die Menge, welche in allen Untervektorräumen eines Vektorraumes enthalten ist.
Wenn ich also alle möglichen Untervektorräume aufschreiben würde, und diese dann alle schneide, dann würde ich das Erzeugnis erhalten.
Wäre das so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Mi 18.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Allgemeine Frage:
>
> Was meint das Erzeugnis eines Vektorraumes?
> Hi, ich habe eine allgemeine Frage zum Erzeugnis von
> Untervektorräumen.
>
> Dies ist doch eigentlich einfach die Menge, welche in allen
> Untervektorräumen eines Vektorraumes enthalten ist.
Das wäre [mm] \{0\} [/mm] !!!
> Wenn ich also alle möglichen Untervektorräume
> aufschreiben würde, und diese dann alle schneide, dann
> würde ich das Erzeugnis erhalten.
>
> Wäre das so richtig?
Nein .
Ist V ein Vektorraum und E eine Teilmenge von V , deren lineare Hülle =V ist, so sagt man E erzeugt V.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Mi 18.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Hmm, den Begriff der linearen Hülle haben wir noch gar nicht eingeführt.
Unsere Definition war:
Sei V ein K-Vektorraum und sei [mm] $X\subseteq [/mm] V$ eine beliebige Teilmenge.
Sei [mm] $\mathfrak{U}=\{U\subseteq V|U\quad \text{Unterraum und} X\subseteq U\}$
[/mm]
Dann heißt [mm] $\bigcap\mathfrak{U}=$
[/mm]
das Erzeugnis von X.
Wie wäre dies denn zu interpretieren?
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Hallo YusuL,
du hast im Startpost nach dem Erzeugnis eines Vektorraums gefragt, was natürlich Unsinn ist, es ist das Erzeugnis einer Teilmenge der dem Vektorraum zugrunde liegenden Menge.
Das Erzeugnis der Menge $X$ ist der kleinste Unterraum von $V$, welcher $X$ enthält. Das heißt:
Ist $U$ ein beliebiger Untervektorraum von $V$ und gilt [mm] $X\subseteq [/mm] U$, so gilt bereits [mm] $\langle X\rangle\subseteq [/mm] U$.
Das ist das was du behalten musst, die konkrete Konstruktion über den Durchschnittvon Unterräumen ist dann egal. Ihr werdet vermutlich noch mindestens eine andere Konstruktion, über endliche Linearkombinationen, kennen lernen, aber Obiges ist das, was zählt und am "natürlichsten". Versuche es dir mal zu beweisen (Aufwand geschätzt eine Zeile).
Ich weiß nicht, welche algebraischen Strukturen ihr sonst schon kennengelernt habt - Monoide, Gruppen, Ringe, Körper, Moduln,... -, aber obige Charakterisierung gilt allgemein und für jede Form von Mengen mit Verknüpfungen. "Lineare Hülle" ist übrigens nur ein Synonym für die erzeugte Unterstruktur im Kontext von Vektorräumen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Mi 18.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Okay, zum Beispiel
das Ergzeugnis von
[mm] $\{0\}=<\emptyset>$
[/mm]
weil {0} nur sich selbst als Untervektorraum hat und die leere Menge eine Teilmenge dieses kleinsten Untervektorraumes ist??
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Ganz genau! Dies gilt in jedem Vektorraum $V$ mit Nullraum [mm] $0_V=\{0\}$ [/mm] als Unterraum. Dieses sehr einfache Beispiel bereitet merkwürdigerweise sehr vielen am Anfang Probleme, aber du hast es richtig erkannt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Mi 18.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Und die Begründung wäre so auch wasserdicht?
Einfach, weil der Nullvektorraum nur sich selbst als Unterraum hat und dieser die leere Menge enthält. Deshalb ist es bereits das Erzeugnis dieser Menge?
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Ich schreibe es mal sehr ausführlich auf, damit man sieht, wie die Argumentation genau funktioniert:
Sei $V$ ein Vektorraum und [mm] $0_V=\{0\}$ [/mm] der Nullraum. Da [mm] $\emptyset\subseteq [/mm] V$, können wir das Erzeugnis [mm] $\langle\emptyset\rangle$ [/mm] betrachten. Es ist gleich [mm] $0_V$.
[/mm]
Beweis
Zu zeigen sind drei Dinge:
1. [mm] $0_V$ [/mm] ist ein Unterraum.
2. [mm] $0_V$ [/mm] enthält [mm] $\emptyset$
[/mm]
3. Ist $U$ ein weiterer Unterraum mit [mm] $\emptyset\subseteq [/mm] U$, so gilt [mm] $\{0\}\subseteq [/mm] U$.
In diesem Fall sind alle drei Aussagen völlig trivial. Ersetzt du [mm] $\emptyset$ [/mm] durch eine beliebige Teilmenge $X$ von $V$ und [mm] $0_V$ [/mm] durch eine beliebige Teilmenge $X'$ von $V$, so hast du hier den Fahrplan, um zu zeigen, dass [mm] $\langle X\rangle=X'$.
[/mm]
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Mi 18.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank für die Erklärung.
Ich hoffe mir ist das nun klarer geworden.
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