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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 Mo 08.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Es sei H echte Untergruppe in G. Zeigen Sie, dass
[mm] G=< G\backslash H >. [/mm] |
Wenn ich die Notation richtig verstehe, geht es hier um ein Erzeugendensystem (das würde auch zum Vorlesungsinhalt passen).
Laut Vorlesung gilt:
[mm] < G\backslash H >=\cap\{U: U \le G, G\backslash H \subseteq U \}. [/mm]
D.h. gesucht ist die kleinste Untergruppe, die [mm] G\backslash H [/mm] enthält.
Aber ist das nicht einfach die Gruppe G selbst?
[mm] < G\backslash H >=\cap\{U: U \le G, G\backslash H \subseteq U \}=G [/mm] ?
Ich habe mir das jedenfalls so skizziert, dass die Gruppe G eine echte Teilmenge H enthält und das sozusagen der "Rest" dann [mm] G\backslash H [/mm] ist. Und dann komme ich ganz intuitiv zu diesem Schluss.
[Aber natürlich ist Mathematik nicht nur Intuition...]
Anmerkungen/ Fragen zur Notation:
1.) Mit [mm] \le [/mm] ist gemeint: "...ist Untergruppe von".
2.) Mit [mm] G\backslash H [/mm] ist doch gemeint: "G ohne H"? Wenn nicht, habe ich die Aufgabe komplett falsch verstanden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:27 Di 09.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei H echte Untergruppe in G. Zeigen Sie, dass
> [mm]G=< G\backslash H >.[/mm]
>
>
> Wenn ich die Notation richtig verstehe, geht es hier um ein
> Erzeugendensystem (das würde auch zum Vorlesungsinhalt
> passen).
Exakt. Es geht darum, dass $G$ von $G [mm] \setminus [/mm] H$ erzeugt wird, falls $H$ eine echte Untergruppe von $G$ ist.
> Laut Vorlesung gilt:
> [mm]< G\backslash H >=\cap\{U: U \le G, G\backslash H \subseteq U \}.[/mm]
>
> D.h. gesucht ist die kleinste Untergruppe, die [mm]G\backslash H[/mm]
> enthält.
Genau.
> Aber ist das nicht einfach die Gruppe G selbst?
Nun, das sollst du ja gerade beweisen!
> Ich habe mir das jedenfalls so skizziert, dass die Gruppe G
> eine echte Teilmenge H enthält und das sozusagen der
> "Rest" dann [mm]G\backslash H[/mm] ist. Und dann komme ich ganz
> intuitiv zu diesem Schluss.
>
> [Aber natürlich ist Mathematik nicht nur Intuition...]
Exakt. Du musst das schon beweisen. Genau das ist hier die Aufgabe.
Denk doch mal an Nebenklassen. Was weisst du darueber?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:23 Di 09.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Okay, das muss ich also nun beweisen (vermutlich, damit aus der Intuition dann Mathematik wird...).
Das "Problem" hierbei ist, dass ich nur die Definition einer Nebenklasse kenne, weil das im ersten Semester kurz erwähnt wurde:
Ist U eine Untergruppe von G und ist g [mm] \in [/mm] G, so ist die Menge [mm] gU=\{gu:u\in U\} [/mm] eine Nebenklasse von G nach U.
Hierin besteht allerdings auch schon mein ganzes Wissen über Nebenklassen. |
Daher weiß ich nicht genau, wie ich das nun gewinnbringend anwenden kann; ein Hinweis wäre klasse.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:12 Di 09.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Das "Problem" hierbei ist, dass ich nur die Definition
> einer Nebenklasse kenne, weil das im ersten Semester kurz
> erwähnt wurde:
>
> Ist U eine Untergruppe von G und ist g [mm]\in[/mm] G, so ist die
> Menge [mm]gU=\{gu:u\in U\}[/mm] eine Nebenklasse von G nach U.
>
> Hierin besteht allerdings auch schon mein ganzes Wissen
> über Nebenklassen.
> Daher weiß ich nicht genau, wie ich das nun
> gewinnbringend anwenden kann; ein Hinweis wäre klasse.
Ok, dann machen wir das ein wenig direkter.
Sei $g [mm] \in [/mm] G [mm] \setminus [/mm] U$; da $U$ nicht die ganze Gruppe ist, gibt es ein solches Element.
Sei nun $u [mm] \in [/mm] U$. Du musst zeigen $u [mm] \in \langle [/mm] G [mm] \setminus [/mm] U [mm] \rangle$.
[/mm]
Nun ein paar Fragen an dich:
* Ist $g u [mm] \in [/mm] U$?
* Ist [mm] $g^{-1} \in [/mm] U$?
* Kannst du damit etwas anfangen?
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:10 Di 09.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Zu den von Dir gestellten Fragen:
Ist gu [mm] \in [/mm] U?
Nein, denn [mm] g \notin U [/mm] und dann: [mm] gu \notin U [/mm]. Andererseits: [mm] gu \notin G\backslash H [/mm]. Es kann nur in "ganz" G liegen.
Ist [mm] g^{-1} \in [/mm] U?
Nein, denn [mm] g \notin U [/mm], dann auch nicht das Inverse von g. Also: [mm] g^{-1} \in G\backslash H [/mm]. |
Richtig so?
Was kann man daraus folgern?
Meine Idee:
[mm] g^{-1}gu [/mm] kann nach den Ergebnissen oben nur in G liegen. Da [mm] g^{-1}gu=u \Rightarrow [/mm] u [mm] \in [/mm] G.
PS. Wieso ist eigentlich u [mm] \in[/mm] [mm] [/mm] zu zeigen? Ist damit die Aufgabe bewiesen?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:45 Mi 10.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ich möchte gerne eine Alternative vorschlagen, wie man den Beweis führen kann und fragen, ob das i.O. ist.
Also:
Ich zeige zunächst, dass die Vereinigung zweier echter Untergruppen einer Gruppe nicht die Gruppe ergibt:
Sei also G Gruppe und seien [mm] H_{1}\subset [/mm] G und [mm] H_{2}\subset [/mm] G.
Behauptung: [mm] G\not= H_{1}\cup H_{2}
[/mm]
Beweis per Widerspruch:
Sei [mm] G=H_{1}\cup H_{2}.
[/mm]
Seien g [mm] \in H_{1}\backslash H_{2} [/mm] und h [mm] \in H_{2}\backslash H_{1}.
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] gh [mm] \notin H_{1}, [/mm] da sonst [mm] h=g^{-1}(gh) \in H_{1}, [/mm] also gh [mm] \in H_{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] gh [mm] \notin H_{2}, [/mm] da sonst [mm] g=(gh)h^{-1} \in H_{2}.
[/mm]
WIDERSPRUCH zu den Annahmen!
Es existiert also keine Gruppe, die Vereinigung von zwei echten Untergruppen ist.
Und nun zum eigentlichen Beweis der Aufgabe.
Dieser ist dann einfach eine Folgerung aus dem bisher Gezeigten:
Zunächst gilt [mm] G= H \cup [/mm].
Da nun nach Voraussetzung H echte Teilmenge ist, kann [mm] [/mm] keine echte Teilmenge sein, da ansonsten wieder der Fall oben eintreten würde.
Das heißt: [mm] [/mm] [mm] \subseteq [/mm] G. |
Folgt daraus nicht jetzt, dass [mm] [/mm] notwendigerweise GLEICH G ist, damit die Gleichung erfüllt ist?
(Wie gesagt: Es handelt sich nur um einen Vorschlag. Es wäre nett, wenn mir mitgeteilt würde, ob ich Schwachsinn produziert habe oder ob etwas fehlt.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Do 11.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Gibt es keine weiteren Bemerkungen oder Vorschläge?
Dann würde ich mich freuen, wenn ich für meinen Vorschlag ein Feedback kriegen könnte. Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Fr 12.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 11.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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