Erzeuger von A5 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:52 Fr 11.04.2008 | | Autor: | MacMath |
| Aufgabe | | Man zeige: Es ist A5 = <(1;2;3), (1;2;3;4;5)> |
Mir fällt kein Beweis ein, alle Ansätze hatten immer wieder einen Haken.
Ich weiß dass [mm] A_5 [/mm] von den 3-Zykeln erzeugt wird und habe (1,2,3,4,5) als Produkt (1,2,3)(3,4,5) von 3-Zykeln geschrieben. Wie kann ich zeigen dass auch alle anderen darin liegen?
Klar ist auch dass [mm] A_5 [/mm] Nt von [mm] S_5 [/mm] sein muss als Kern von sgn, und das [mm] S_5/A_5 [/mm] als Gruppe von Primzahlordnung einfach ist, aber in welche Richtung ich auch gehe fehlt mir immer irgendwo ein Stück. Jemand vielleicht nen Schubs parat?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:08 Sa 12.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Bringt es mir etwas wenn ich zeigen könnte dass das Erzeugnis der beiden 60 Elemente hat? Hab dazu zwar keinen konkreten Ansatz, frage mich nur gerade ob daraus etwas hilfreiches folgen würde
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Sa 12.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
die aufgabe kann schon in eine größere rechenarbeit ausarten. je nachdem, was du schon über die [mm] $A_n$ [/mm] und [mm] $S_n$ [/mm] weißt kann man das aber auch abkürzen. zu zeigen, dass $E := [mm] \left< (1,2,3), (1,2,3,4,5)\right>$ [/mm] mindestens $60$ elemnete genügt, da damit $E [mm] \leq A_5$ [/mm] und $|E| [mm] \geq |A_5|$ [/mm] und somit die gruppen schon gleich sind. ich befürchte aber, dass schon das nicht so einfach ist.
alternativ könnte man, da [mm] $S_5 [/mm] = [mm] \left< (1, 2), (1, 2, 3, 4, 5) \right>$ [/mm] (ist dir das bekannt?), etwa zeigen, dass konjugation der erzeuger von $E$ mit diesen elementen wieder in $E$ landet, $E$ also normalteiler von [mm] $S_5$ [/mm] ist und davon gibt es ja nicht soviele.
zum beispiel ist $(1, [mm] 2)^{-1}(1, [/mm] 2, 3, 4, 5)(1, 2) = (1, 2, 3, 4, 5)(1, 2, 3) [mm] \in [/mm] E$ und so weiter.
vielleicht kann man auch den beweis für die aussage [mm] $S_n [/mm] = [mm] \left< (1, 2), (1, 2, 3, ..., n) \right>$ [/mm] geschickt variieren und eine entsprechende aussage auch für die [mm] $A_n$ [/mm] zeigen?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Sa 12.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Hallo Andreas, vielen Dank schon mal :)
[...]
> mindestens [mm]60[/mm] elemnete genügt, da damit [mm]E \leq A_5[/mm] und [mm]|E| \geq |A_5|[/mm]
> und somit die gruppen schon gleich sind.
Warum folgt das aus einer Mächtigkeit>60?
Steh ich aufm Schlauch oder ist das nicht so trivial?
> alternativ könnte man, da [mm]S_5 = \left< (1, 2), (1, 2, 3, 4, 5) \right>[/mm]
> (ist dir das bekannt?), ja ist bekannt, dann muss ich aber auch noch zeigen dass E kein anderer Normalteiler sein kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Sa 12.04.2008 | | Autor: | MacMath |
stimmt es das [mm] S_5 [/mm] genau 19 3-Zykel enthält?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Sa 12.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
ich denke eher $20$ (zumindest behauptet das mein CAS) - da fehlt dir dann wohl noch einer.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Sa 12.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
falls es dir weiterhilft, hier mal alle elemente der [mm] $A_5$:
[/mm]
[mm] $A_5 [/mm] = [mm] \{(), (1,5,4,3,2), (1,4,2,5,3), (1,3,5,2,4), (1,2,3,4,5), (2,3,4), (1,5,4), (1,4,5,3,2), (1,3)(2,5), (1,2,4,3,5), (2,5,4), (1,5,3,2,4), (1,4,5,2,3), (1,3,5), (1,2)(3,4), (2,4,3), (1,5,4,2,3), (1,4)(3,5), (1,3,4,5,2), (1,2,5), (3,5,4), (1,5,3,4,2), (1,4)(2,5), (1,3,2,4,5), (1,2,3), (2,3,5), (1,5)(3,4), (1,4,2), (1,3,2,5,4), (1,2,4,5,3), (2,5)(3,4), (1,5)(2,4), (1,4)(2,3), (1,3)(4,5), (1,2)(3,5), (2,4)(3,5), (1,5,2,3,4), (1,4,5), (1,3,2), (1,2,5,4,3), (3,4,5), (1,5,2), (1,4,3,2,5), (1,3)(2,4), (1,2,3,5,4), (2,3)(4,5), (1,5,3), (1,4,3,5,2), (1,3,4,2,5), (1,2,4), (2,5,3), (1,5,2,4,3), (1,4,2,3,5), (1,3,4), (1,2)(4,5), (2,4,5), (1,5)(2,3), (1,4,3), (1,3,5,4,2), (1,2,5,3,4) \}$.
[/mm]
falls du eine lösung der aufgabe findest wäre ich auch sehr daraninteressiert, würde mich also freuen, wenn du diese dann postest.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Sa 12.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Werd ich tun, das Blatt hat allerdings bis Donnerstag Zeit und ich hab mich nach ein paar Stunden einer anderen Aufgabe zugewendet, die mir allerdings auch nichts schenkt ;)
Ich glaub ich hab noch kein "Feeling" für Darstellungstheorie und klammer mich an reine Gruppentheorie... is vielleicht nicht die optimale Lösung für diese Vorlesung und wird sich hoffentlich bald legen^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Sa 12.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Hab das fehlende Element gefunden *g* war nicht schwer, aber nach ein paar Multiplikationen lag der Verdacht nahe dass das ein Fass ohne Boden wird, wenn man ein Produkt für jeden 3-zykel angeben will, so verzweifelt bin ich noch nicht^^
Im Moment schwirrt mir ein anderer Gedanke im Kopf rum.
A5 als Kern von sgn dürfte sich doch mit einer Matrixdarstellung in [mm] GL_n(K) [/mm] übertragen lassen, wodurch ich dort das Bild von E als Kern von det gegeben hab.
Ich bin mir nicht ganz sicher, vermute aber dass ich dann für K nur [mm] \IF_{3} [/mm] wählen kann da nur dann [mm] S_3/E \cong GL_n(K)/SL_n(K)
[/mm]
oder sieht jemand eine Möglichkeit diese Einschränkung zu umgehen?
Ich erhoffe mir davon das Erzeugnis zweier Matritzen einfacher angeben zu können als das gegebene, hat das Unterfangen eine Chance?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 So 13.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Im Moment schwirrt mir ein anderer Gedanke im Kopf rum.
> A5 als Kern von sgn dürfte sich doch mit einer
> Matrixdarstellung in [mm]GL_n(K)[/mm] übertragen lassen, wodurch ich
> dort das Bild von E als Kern von det gegeben hab.
>
> Ich bin mir nicht ganz sicher, vermute aber dass ich dann
> für K nur [mm]\IF_{3}[/mm] wählen kann da nur dann [mm]S_3/E \cong GL_n(K)/SL_n(K)[/mm]
mir ist etwas unklar, was du damit meinst. es ist doch $0 [mm] \longrightarrow \mathrm{SL}_n(K) \longrightarrow \mathrm{GL}_n(K) \stackrel{\det}{\longrightarrow} K^\times \longrightarrow [/mm] 0$ exakt für jeden körper $K$, also [mm] $\mathrm{GL}_n(K) [/mm] / [mm] \mathrm{SL}_n(K) \cong K^\times$ [/mm] nach homomorphiesatz. wie kannst du dies nun mit der [mm] $S_3$ [/mm] in verbindung bringen?
> Ich erhoffe mir davon das Erzeugnis zweier Matritzen
> einfacher angeben zu können als das gegebene, hat das
> Unterfangen eine Chance?
du kannst natürlich die permutationsdarstellung auf [mm] $K^5$ [/mm] betrachten. ich sehe aber nicht, wie man mit diesem matrizenerzeugnis schneller zum ziel kommen könnte.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:33 So 13.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Es gilt ja Bild(sgn)={-1,1}
und [mm] GL_n(K)/Kern(det) [/mm] wäre für [mm] \IF_{3} [/mm] das gleiche gewesen, ich dachte das wäre vielleicht sinnvoll, um sich "nicht zu weit" vom eigentlichen Raum zu entfernen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 So 13.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
du erhälst stets als bild der determinantenabbildung auf permutationsgruppen einen unterguppe der mutliplikativen gruppe [mm] $\{\pm 1\}$ [/mm] des körpers, egal wechen körper du wählst (außegenommen vielleicht charakteristik $2$, da degeneriert die gruppe ein wenig). daher ist es egal, welchen körper du als grundkörper für deine darstellung wählst.
mir ist allerdings der zusammenhang zur [mm] $S_3$, [/mm] den du herstellen willst nicht wirklich klar.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 So 13.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Argh ich glaube das war alles viel zu viel Mühe, falls ich mich nicht schwer irre hab ich es :)
(ich nenne das Erzeugnis weiterhin E=
[mm] A_5 [/mm] ist NT von [mm] S_5 [/mm] und E UG von [mm] S_5 [/mm] (und auch von [mm] A_5
[/mm]
[mm] E\capA_5 \not={1} [/mm] aber [mm] E\capA_5 [/mm] NT von E nach dem Isomorphisatz.
Dann muss [mm] E=A_5 [/mm] sein.
Nach den ganzen Mühen wundere ich mich schon über die einfache Lösung, aber ich bin schon der Meinung, den Iso-Satz richtig benutzt zu haben, was meinst du?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 So 13.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> (ich nenne das Erzeugnis weiterhin E=
> [mm]A_5[/mm] ist NT von [mm]S_5[/mm] und E UG von [mm]S_5[/mm] (und auch von [mm]A_5[/mm]
genau.
[ich habe im folgenden mal ein paar leerzeichen in deinen LaTeX-code eingefügt um die sache lesbar zu machen.]
> [mm]E\cap A_5 \not={1}[/mm] aber [mm]E\cap A_5[/mm] NT von E nach dem
> Isomorphisatz.
mir ist unklar, wie du folgerst, dass $E [mm] \cap A_5 [/mm] = E$ normalteiler von [mm] $A_5$ [/mm] ist. wenn du das hast, dann bist du fertig, das ist klar (sofern du weißt, dass [mm] $A_5$ [/mm] einfach ist, aber das scheinst du ja zu wissen). meiner meinung nach fehlt da aber eben noch ein argument, warum das normalteiler ist, oder übersehe ich da was triviales?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 So 13.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Das steht bei mir im Skript so beim Isomorphisatz, und folgt in dem Beweis dazu, da $E [mm] \cap A_5 [/mm] $=Kern(p) mit
$p: [mm] E\to [/mm] E [mm] A_5 \to [/mm] (E [mm] A_5)/A_5$
[/mm]
$a [mm] \mapsto [/mm] a [mm] \mapsto aA_5$
[/mm]
Nachtrag: Es gilt ja hier [mm] A_5 \cap [/mm] E = E, woraus natürlich folgt das E NT von E ist, verdammt... es gibt wahrscheinlich keinen schönen Grund das auf die größere [mm] A_5 [/mm] zu übertragen oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 So 13.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
so kannst du leider nicht argumentieren. nimm eine beliebige untergruppe von [mm] $A_5$ [/mm] und wende das argument darauf an, dann würde folgen, dass diese untergruppe gleich [mm] $A_5$ [/mm] ist. [mm] $A_5$ [/mm] hat aber durchaus auch untergruppen, welche keine normalteiler sind. ich vermute du meinst das, was in der literatur meist "1. isomorphiesatz" heißt und ich befürchte, dass aus dem satz nur folgt, dass $E [mm] \cap A_5$ [/mm] normalteiler in $E$ ist - aber solange man nicht weiß, dass $E = [mm] A_5$ [/mm] ist, ist man demnach immernoch nicht fertig. wie gesagt ich befürchte, dass man bei sochen aufgaben um eine gewisse menge an rechnungen nicht herumkommt.
dir scheint ja schon einiges über die [mm] $A_5$ [/mm] bekannt zu sein. was hälst du denn dann von den letzten beiden vorschlägen, die ich in meiner ersten antwort (12:37 Sa 12.04.2008) gemach habe? wenn dir dieses erzeugnis resultat über die [mm] $S_n$ [/mm] bekannt ist, sollte man das mit keinem allzugroßen aufwand hinbekommen.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 So 13.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Das [mm] S_n [/mm] von einem 2- und einem n-Tupel erzeugt wird war übungsaufgabe in LA2. Ich glaube den Beweis sogar noch vollständig im Kopf zu haben, allerdings sind 3-Tupel doch schon ein bisschen schwerer zu Handhaben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:12 Mo 14.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Das [mm]S_n[/mm] von einem 2- und einem n-Tupel erzeugt wird war
> übungsaufgabe in LA2. Ich glaube den Beweis sogar noch
> vollständig im Kopf zu haben, allerdings sind 3-Tupel doch
> schon ein bisschen schwerer zu Handhaben.
da magst du recht haben, ich habe das auch nicht durchgerechnet, ich dachte nur, dass das vielleicht so funktionieren könnte (im allgemeinen scheint die aussage falsch zu sein, da für gerades $n$ gilt $(1,2, ..., n) [mm] \not\in A_n$ [/mm] - wäre auch zu schön gewesen). aber wenn du dieses erzeugendensystem der [mm] $S_n$ [/mm] kennst, denke ich, dass der vorletzte von mir in dem post angegebene weg recht schnell zum ziel führt: zeige, dass das konjugieren mit diesen erzeugern der [mm] $S_n$ [/mm] nicht aus $E$ (notation wie bisher) herausführt. dafür musst du nur produkte aus den erzeugern für $3$ konjugationen angeben, eines steht ja schon dort. das sollte also durchaus mit vertretbarem aufwand machbar sein. dann hast du einen normalteiler, welcher in [mm] $A_5$ [/mm] enthalten ist und mehr als ein element enthält und bist fertig.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Mo 14.04.2008 | | Autor: | MacMath |
japp, ging wunderbar.
Vielen Dank :)
Das einzig nicht ganz einfache war:
(1,2)(1,2,3,4,5)(1,2) =:b [mm] \in [/mm] E
mit s=(1,2,3,4,5) und d=(1,2,3)
liegt aber [mm] s^2d^2sd^2s^{-2} [/mm] in E und ist das inverse von b :)
Ich werd dann mal versuchen weiter zu kommen
Nochmal Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 Mo 14.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> japp, ging wunderbar.
schön.
> Das einzig nicht ganz einfache war:
> (1,2)(1,2,3,4,5)(1,2) =:b [mm]\in[/mm] E
>
> mit s=(1,2,3,4,5) und d=(1,2,3)
>
> liegt aber [mm]s^2d^2sd^2s^{-2}[/mm] in E und ist das inverse von b
> :)
das kann man auch etwas einfacher haben, schau nochmal in meine erste antwort 
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:12 Di 15.04.2008 | | Autor: | MacMath |
:D looooooooooooooooool
Naja egal ;) Als ich die gemacht hab saß ich im bus, da hatte ich eh keinen Zugang zum Inet und hätte auch nicht so viel anderes machen können^^
Hab die Transposition dann notiert indem ich die [mm] \pi [/mm] (j) in der reihenfolge der j ufgeschrieben hab, und dann quasi "im Kopf" sortiert mit den 2 operationen drehen (der ersten 3er Gruppe von "Kästechen") und shiften bzw backshiften.
(Daher aus s und d für die Elemente)
Moah aber echt immer noch lool ^^ Das find ich jetzt mal voll gut... Tja,
muss halt bestraft werden, selber Schuld.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Sa 12.04.2008 | | Autor: | andreas |
> > mindestens [mm]60[/mm] elemnete genügt, da damit [mm]E \leq A_5[/mm] und
> [mm]|E| \geq |A_5|[/mm]
> > und somit die gruppen schon gleich sind.
>
> Warum folgt das aus einer Mächtigkeit>60?
> Steh ich aufm Schlauch oder ist das nicht so trivial?
mächtigkeit [mm] $\geq [/mm] 60$.
wenn du eine unterguppe $U$ einer endlichen gruppe $G$ hast und $U$ genau so viele elemente wie die gruppe $G$ enthält, dann muss doch schon $U = G$ gelten, oder?
grüße
andreas
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