Erzeuger und Sigma-Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
angenommen ich habe auf einer Menge X eine [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{A}$ [/mm] und eine davon verschiedene weitere [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{E}$, [/mm] die einen Erzeuger [mm] $\epsilon$ [/mm] hat. Kann ich jetzt eine Aussage über die Mengenbeziehung von [mm] $\epsilon$ [/mm] und [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] machen? Gilt insbesondere, dass [mm] $\epsilon \subseteq \mathcal{A}$ [/mm] ? Falls ja, warum?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Sa 23.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> angenommen ich habe auf einer Menge X eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> [mm]\mathcal{A}[/mm] und eine davon verschiedene weitere
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm]\mathcal{E}[/mm], die einen Erzeuger [mm]\epsilon[/mm]
> hat. Kann ich jetzt eine Aussage über die Mengenbeziehung
> von [mm]\epsilon[/mm] und [mm]\mathcal{A}[/mm] machen?
Nein.
FRED
> Gilt insbesondere,
> dass [mm]\epsilon \subseteq \mathcal{A}[/mm] ? Falls ja, warum?
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Gut, das freut mich ja schon mal, denn das habe ich genauso gesehen. Die eigentliche Frage betrifft nämlich den Beweis des folgenden Lemmas:
Sei [mm] \mathcal{B} [/mm] = [mm] \sigma(\mathcal{E}) [/mm] die von [mm] \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(Y) [/mm] erzeugte [mm] $\sigma$-Algebra. [/mm] Dann gilt:
$f:X [mm] \to [/mm] Y$ ist [mm] $(\mathcal{A}, \mathcal{B})$-messbar \gdw f^{-1}(E) \in \mathcal{A} [/mm] für alle E [mm] \in \mathcal{E}
[/mm]
Beweis: Setze [mm] \mathcal{C} [/mm] := [mm] \{A \subseteq Y | f^{-1}(A) \in \mathcal{A} \}. [/mm] Dann ist [mm] \mathcal{C} [/mm] eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf Y und [mm] \mathcal{E} \subseteq \mathcal{C}, [/mm] und somit [mm] \mathcal{B} [/mm] = [mm] \sigma(\mathcal{E}) \subseteq \mathcal{C}
[/mm]
Warum gilt hier also [mm] \mathcal{E} \subseteq \mathcal{C}. [/mm] Ist das nicht äquivalent zu meiner Frage? Man bildet ja eine beliebige [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] von X auf Y ab und setzt sie in Mengenrelation zum Erzeuger einer weiteren beliebigen [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf Y.
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Hiho,
> Warum gilt hier also [mm]\mathcal{E} \subseteq \mathcal{C}.[/mm] Ist das nicht äquivalent zu meiner Frage?
Nein.
> Man bildet ja eine beliebige [mm]\sigma[/mm]-Algebra von X auf Y ab
Nein. Da fängt dein Denkfehler schon an.
[mm] \mathcal{B} [/mm] ist eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf Y, da wird gar nix abgebildet.
Ist dir denn überhaupt die Definition der Meßbarkeit von Funktionen klar?
Drücke diese mal bitte in eigenen Worten hier aus, dann können wir damit weiterarbeiten.
Gruß,
Gono.
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> Nein. Da fängt dein Denkfehler schon an.
> [mm]\mathcal{B}[/mm] ist eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra auf Y, da wird gar nix
> abgebildet.
Es werden doch zwei [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] verglichen?! Einmal [mm] $\mathcal{B} [/mm] = [mm] \sigma(\mathcal{E})$, [/mm] das nicht abgebildet wird, einmal aber auch [mm] $\mathcal{C}$. [/mm] Dieses ist doch als Bild der [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{A}$ [/mm] auf Y definiert oder sehe ich das falsch? Genau genommen als Bild der Mengen
> Drücke diese mal bitte in eigenen Worten hier aus, dann
> können wir damit weiterarbeiten.
Es ist gar nicht so leicht, das in eigenen Worten auszudrücken, aber ich meine die Definition schon verstanden zu haben. ;)
Man greift sich Mengen aus der [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] des Bildraumes, bildet deren Urbild und überprüft, ob sie in der [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] des Urbildraumes liegen. Ist das immer erfüllt, ist die Funktion messbar.
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Hiho,
> Es werden doch zwei [mm]\sigma[/mm]-Algebren verglichen?! Einmal [mm]\mathcal{B} = \sigma(\mathcal{E})[/mm], das nicht abgebildet wird, einmal aber auch [mm]\mathcal{C}[/mm].
Bis hierhin ok.
Allerdings gibt es hier einen besonderen Unterschied zu deiner Einstiegsfrage.
Deine Frage war nämlich zu Beginn
"Gibt es zwischen zwei beliebigen [mm] $\sigma$-Algebren $\mathcal{B} [/mm] = [mm] \sigma(\mathcal{E})$ [/mm] und [mm] \mathcal{C} [/mm] immer einen Zusammenhang."
Darauf lautet die Antwort eben klar "Nein."
Was aber hier hinzu kommt ist die überaus wichtige Information, dass nach Definition von C automatisch [mm] $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{C}$ [/mm] gilt. Daraus folgt nämlich sofort [mm] $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{C}$ [/mm] (warum?).
> Dieses ist doch als Bild der [mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm]\mathcal{A}[/mm] auf Y definiert oder sehe ich das falsch?
Ja, das siehst du falsch.
[mm] \mathcal{C} [/mm] ist definiert als die Teilmengen von Y, deren Urbilder in [mm] \mathcal{A} [/mm] liegen, also letztlich genau umgekehrt als deine Annahme.
Diese würde nur stimmen, wenn f bijektiv wäre.
Es kann ja Elemente in Y geben, die nie getroffen werden (und damit insbesondere nicht durch Elemente der [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{A}$) [/mm] Das Urbild dieser Elemente ist dann eben die leere Menge. Diese ist aber trivialerweise in [mm] \mathcal{A} [/mm] und damit sind eben auch die einelementigen Mengen der nicht getroffenen Elemente in [mm] $\mathcal{C}$.
[/mm]
> Es ist gar nicht so leicht, das in eigenen Worten
> auszudrücken, aber ich meine die Definition schon
> verstanden zu haben. ;)
> Man greift sich Mengen aus der [mm]\sigma[/mm]-Algebra des
> Bildraumes, bildet deren Urbild und überprüft, ob sie in
> der [mm]\sigma[/mm]-Algebra des Urbildraumes liegen. Ist das immer
> erfüllt, ist die Funktion messbar.
Das war gut!
Nun versuche mal die Aussage des Lemmas in Worte zu fassen, dann wirst du auch merken, warum dir das so viel Erleichterung bringt.
Gruß,
Gono.
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Ah, ich glaube, ich habs.
Der Knackpunkt war, dass ich nicht verstanden habe, wieso zwangsläufig [mm] \mathcal{E} \subseteq \matchcal{C} [/mm] gilt, aber durch die [mm] $(\mathcal{A}, \mathcal{B})$-Messbarkeit [/mm] ist ja vorausgesetzt, dass das Urbild jeder [mm] $\mathcal{B}$-messbaren [/mm] Menge [mm] $\mathcal{A}$-messbar [/mm] ist. Das gilt dann natürlich insbesondere für den Erzeuger von [mm] \mathcal{B}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 Di 26.11.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Ah, ich glaube, ich habs.
> Der Knackpunkt war, dass ich nicht verstanden habe, wieso
> zwangsläufig [mm]\mathcal{E} \subseteq \matchcal{C}[/mm] gilt, aber
> durch die [mm](\mathcal{A}, \mathcal{B})[/mm]-Messbarkeit ist ja
> vorausgesetzt, dass das Urbild jeder [mm]\mathcal{B}[/mm]-messbaren
> Menge [mm]\mathcal{A}[/mm]-messbar ist. Das gilt dann natürlich
> insbesondere für den Erzeuger von [mm]\mathcal{B}[/mm]
So sieht es aus 
Gruß,
Gono.
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