Erzeuger eines Rings < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] \epsilon:=\{E\subset \IR: E \text{ endlich}\}. [/mm] Dann ist [mm] \epsilon [/mm] ein Ring. Bestimmen Sie die von [mm] \epsilon [/mm] erzeugte [mm] \sigma-Algebra! [/mm] |
Es ist klar, dass [mm] \epsilon [/mm] ein Ring ist. Und meine Vermutung ist, dass die erzeugte [mm] \sigma-Algebra [/mm] gerade
[mm] \sigma(\epsilon)=\{E\subset \IR: E\text{ endlich oder }E^c \text{ endlich}\}.
[/mm]
ist.
Klar ist hierbei, dass [mm] \sigma(\epsilon) [/mm] tatsächlich eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist. Auch klar ist, dass [mm] \epsilon\subset \sigma(\epsilon). [/mm] Aber wieso ist es die kleinste [mm] \sigma-Algebra, [/mm] die [mm] \epsilon [/mm] enthält? Wie zeigt man das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:07 Sa 17.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]\epsilon:=\{E\subset \IR: E \text{ endlich}\}.[/mm] Dann ist
> [mm]\epsilon[/mm] ein Ring. Bestimmen Sie die von [mm]\epsilon[/mm] erzeugte
> [mm]\sigma-Algebra![/mm]
> Es ist klar, dass [mm]\epsilon[/mm] ein Ring ist. Und meine
> Vermutung ist, dass die erzeugte [mm]\sigma-Algebra[/mm] gerade
>
> [mm]\sigma(\epsilon)=\{E\subset \IR: E\text{ endlich oder }E^c \text{ endlich}\}.[/mm]
>
> ist.
>
> Klar ist hierbei, dass [mm]\sigma(\epsilon)[/mm] tatsächlich eine
> [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist. Auch klar ist, dass [mm]\epsilon\subset \sigma(\epsilon).[/mm]
> Aber wieso ist es die kleinste [mm]\sigma-Algebra,[/mm] die [mm]\epsilon[/mm]
> enthält? Wie zeigt man das?
Du zeigst, dass du mit [mm] $\sigma$-Algebra-Operationen [/mm] jedes Element aus [mm] $\{E\subset \IR: E\text{ endlich oder }E^c \text{ endlich}\}$ [/mm] aus Elementen von [mm] $\epsilon$ [/mm] erhalten kann.
Ist $E$ endlich, so liegt ja $E$ schon in [mm] $\varepsilon$. [/mm] Jetzt musst du zeigen, dass auch [mm] $E^c$ [/mm] in [mm] $\sigma(\varepsilon)$ [/mm] liegt; hierfuer darfst du die [mm] $\sigma$-Algebra-Gesetze [/mm] nutzen ebenso wie den Fakt dass [mm] $\varepsilon \subseteq \sigma(\varepsilon)$ [/mm] gilt und [mm] $\sigma(\varepsilon)$ [/mm] jede Menge enthaelt, die jede [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] enthaelt (also z.B. [mm] $\emptyset$ [/mm] und [mm] $\IR$ [/mm] selber).
LG Felix
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Ich habe einen Fehler gemacht. Es ist natürlich
[mm] \sigma(\epsilon)=\{A\subset \IR : A\text{ abzählbar oder }A^c \text{ abzählbar}\}
[/mm]
Nun klappt es auch, das beliebige Vereinigungen wieder in [mm] \sigma(\epsilon) [/mm] liegen.
Um zu zeigen, dass [mm] \sigma(\epsilon) [/mm] die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, nimmt man sich eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] B mit [mm] \epsilon \subset [/mm] B und zeigt mit den Eigenschaften einer [mm] \sigma-Algebra, [/mm] dass [mm] \sigma(\epsilon)\subset [/mm] B
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Sa 17.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ich habe einen Fehler gemacht. Es ist natürlich
>
> [mm]\sigma(\epsilon)=\{A\subset \IR : A\text{ abzählbar oder }A^c \text{ abzählbar}\}[/mm]
Stimmt. Hatte das gar nicht so genau beachtet :)
> Nun klappt es auch, das beliebige Vereinigungen wieder in
> [mm]\sigma(\epsilon)[/mm] liegen.
>
> Um zu zeigen, dass [mm]\sigma(\epsilon)[/mm] die kleinste
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist, nimmt man sich eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] B
> mit [mm]\epsilon \subset[/mm] B und zeigt mit den Eigenschaften
> einer [mm]\sigma-Algebra,[/mm] dass [mm]\sigma(\epsilon)\subset[/mm] B
Genau.
LG Felix
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