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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:06 Do 10.07.2008 | | Autor: | dbzworld |
| Aufgabe | Sei [mm] V:=\{(x1,x2,x3,x4)^{t}|x1,x2,x3,x4 \in\IR, x1+x2+x3+x4=0\}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass V ein Teilraum von [mm] \IR^4 [/mm] ist.
b) Geben Sie ein endliches Erzeugendensystem von V an und begründen Sie, warum es sich tatsächlich um ein Erzeugendensystem handelt.
c)Geben Sie eine Basis von V an und begründen Sie, warum es sich tatsächlich um eine Basis handelt.
d)Was ist die Dimension von V? |
Hallo, habe einige Fragen zu der Lösung ich hoffe ich könnt mir helfen.
>a) Zeigen Sie, dass V ein Teilraum von [mm] \IR^4 [/mm] ist.
kein Problem, habe ich gemacht, die Lösung ist für meine Frage aber unwichtig.
>b) Geben Sie ein endliches Erzeugendensystem von V an und begründen Sie, warum es sich tatsächlich um ein Erzeugendensystem handelt.
ein mögliches wäre:
[mm] E=\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0}\vektor{0 \\ 1 \\ -1 \\ 0}\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
zu zeigen ist, dass mit dem gegebenen Erzeugendensystem und Skalaren [mm] \lambda [/mm] aus [mm] \IR^4 [/mm] jedes beliebige [mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ d} \in [/mm] V erzeugt werden kann. Also:
[mm] \lambda1* \vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0}+\lambda2* \vektor{0 \\ 1 \\ -1 \\ 0}+\lambda2* \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ -1}=\vektor{a \\ b \\ c \\ d}
[/mm]
Dies kann man mit dem Gauß Algo. lösen in dem man guckt ob die drei Vektoren aus dem Erzeugendensystem linear unabhängig sind. Falls ja, kann man mit dem Erzeugendensystem alle Vektoren aus V erzeugen.
also:
1 0 0 =0
-1 1 0 =0
0 -1 1 =0
0 0 -1 =0
[mm] \underbrace{gauss}_{}
[/mm]
1 0 0 = 0
0 1 0 = 0
0 0 1 = 0
0 0 0 = 0
also linear unabhängig.
Somit ist E ein mögliches Erzeugendensystem.
Ist meine Brechnung und Argumentation für Aufgabe b) korrekt?
>c)Geben Sie eine Basis von V an und begründen Sie, warum es sich tatsächlich um eine Basis handelt.
Ist eigentlich jetzt trivial das oben angegebene Erzeugendensystem ist auch gleichzeitig auch eine Basis, da es linear unabhängig und minimal ist.
Soweit korrekt?
Kurze Frage zu Erzeugendensystem vs. Basis: Ich kann beide leider nicht ganz unterscheiden. Also ein ES muss alle Vektoren aus dem Vektorraum erzeugen können. Muss er aber auch linear unabhängig sein oder kann er auch linear abhängig sein? Eine Basis ist wiederum ein ES und zusätzlich linear unabhängig und minimal?
Ich habe mal irgendwo gelesen lineare unabhängigkeit sorgt für minimalität ist das korrekt?
Was ist genau der eKnackpunkt was beide ausmacht? Weil sonst gäbe es ja nur ein ES oder Basis.
>d)Was ist die Dimension von V?
Die Dimension von V ist dimV=3 da der Rang der Basismatrix 3 ist.
Eine kleine Frage, wenn ein Vektorraum z.B. [mm] \IR^4 [/mm] eine Basis hat, so hat die Basis genau 4 Vektoren oder? Also bei [mm] \IR^n [/mm] muss die Basis n Vektoren haben um [mm] \IR^n [/mm] aufzuspannen.
Und mit weniger als n Vektoren kann es keine Basis sein???
>Nochwas unser Teilraum V ist ja ein Teilraum von [mm] \IR^4, [/mm] warum hat es aber eine Dimension von 3 und nicht von 4? Weil es nur ein Teilraum ist und dieser nicht ganz [mm] \IR^4 [/mm] aufspannen/enthalten muss?
sind leider ein paar Fragen mehr geworden als ich dachte ^^, aber hier wird mir immer so nett geholfen und da ich in zwei Wochen eine Matheklausur schreibe wäre es super wenn ich die letzten Wissenslücken schließen könnte.
vielen dank vorab an Alle!
gruß
dbzworld
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:11 Do 10.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.Ein Erzeugendensystem kann beliebig viele Vektoren enthalten, sie müssen nicht lin unabh. sein. du könntest also z.Bsp auch noch die Summe und Differenz von 2 oder 3 deiner Vektoren dazunehmen. Hauptsache, du kannst aus ihnen alle Vektoren von V erzeugen (und keine anderen! (Manchmal kriegt man einfach 5 oder ne andere Zahl) Vektoren aus z.Bsp [mm] R^4 [/mm] angeboten und soll den Unterraum finden, den sie erzeugen!
Bei dir fehlt der Nachweis, dass sie wirklich (a,b,c,d) mit a+b+c+d=0 erzeugen!
Dass die 3 lin. unabh. sind hat damit direkt nichts zu tun! (erst wenn du sie zur Basis machen willst!)
a)es könnten zuviele sein, also es könnten auch Vektoren mit [mm] a+b+c+d\ne0 [/mm] rauskommen, oder b) du kannst nicht alle mit der Bed. rauskriegen!
Ene Basis ist dann eine Maximalmenge von lin. unabh. aus den erzeugenden.
Und man kann natürlich als erzeugendensystem schon ne Basis haben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 Fr 11.07.2008 | | Autor: | dbzworld |
Jetzte habe ich es, ich muss ja jedes Vektor aus V erzeugen können, aber damit dieser Vektor aus V kommt muss die Bedingung gelten:
x1+x2+x3+x4=0
also kann ich ja machen:
[mm] \lambda1\cdot{} \vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0}+\lambda2\cdot{} \vektor{0 \\ 1 \\ -1 \\ 0}+\lambda3\cdot{} \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ -1}=\vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ -x1-x2-x3}
[/mm]
dann zeige ich, dass es für die Lambdas eine eindeutige Lösung existiert:
LSG ->
[mm] \lambda1\ [/mm] = x1
[mm] -\lambda1\ [/mm] + [mm] \lambda2\ [/mm] = x2
[mm] -\lambda2\ [/mm] + [mm] \lambda3\ [/mm] = x3
[mm] -\lambda3\ [/mm] = -x1-x2-x3
-> Lösung
[mm] \lambda1\ [/mm] = x1
[mm] \lambda2\ [/mm] = x1+x2
[mm] \lambda3\ [/mm] = x1+x2+x3
also erzeugt das gegebene Erzeugendensystem alle Vektoren aus V.
So in Ordnung?
Noch eine Frage: Wenn in einer Aufagabe nur eine Basis gefordert ist,
muss ich doch folgendes zeigen:
1.Basis ist Erzeugendensystem ->Voraussetzungen von oben zeigen
2.Basis ist linear unanhängig.
Richtig?
danke
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> Jetzte habe ich es, ich muss ja jedes Vektor aus V erzeugen
> können, aber damit dieser Vektor aus V kommt muss die
> Bedingung gelten:
> x1+x2+x3+x4=0
>
> also kann ich ja machen:
> [mm]\lambda1\cdot{} \vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0}+\lambda2\cdot{} \vektor{0 \\ 1 \\ -1 \\ 0}+\lambda3\cdot{} \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ -1}=\vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ -x1-x2-x3}[/mm]
>
> dann zeige ich, dass es für die Lambdas eine eindeutige
> Lösung existiert:
> LSG ->
> [mm]\lambda1\[/mm] = x1
> [mm]-\lambda1\[/mm] + [mm]\lambda2\[/mm] = x2
> [mm]-\lambda2\[/mm] + [mm]\lambda3\[/mm] = x3
> [mm]-\lambda3\[/mm] = -x1-x2-x3
> -> Lösung
> [mm]\lambda1\[/mm] = x1
> [mm]\lambda2\[/mm] = x1+x2
> [mm]\lambda3\[/mm] = x1+x2+x3
>
> also erzeugt das gegebene Erzeugendensystem alle Vektoren
> aus V.
>
> So in Ordnung?
>
> Noch eine Frage: Wenn in einer Aufagabe nur eine Basis
> gefordert ist,
> muss ich doch folgendes zeigen:
> 1.Basis ist Erzeugendensystem ->Voraussetzungen von oben
> zeigen
> 2.Basis ist linear unanhängig.
>
> Richtig?
>
Hallo,
alles richtig.
Du schriebst ja eingangs, daß Du Dich auf die Klausur vorbereitest.
Ich gehe davon aus, daß Ihr Euch in der Vorlesung mit LGS beschäftigt habt.
Wenn die gestellte Aufgabe Klausuraufgabe wäre, würde ich sie unter Berufung auf das, was man bei den LGS gelernt hat, lösen - das ist dann schneller.
Z.B. Teil a) Hier kann man schreiben, daß es sich bei der Menge V um die Lösungsmenge eines homogenen LGS handelt, welche
lt. Vorlesung ein VR ist.
Teil d) Hier kannst Du Dich auf den Rang der Koeffizientenmatrix berufen: EDIT: [mm] Rang=\red{1} [/mm] ==> dim V=3 [mm] \red{(=4-1)}
[/mm]
Dann löst Du das LGS, sagst, diese 3 Vektoren spannen also den Lösungsraum auf, und weil Du bereits weißt, daß die Dimension v. V =3 ist, müssen sie eine Basis des Lösungsraumes sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Fr 11.07.2008 | | Autor: | dbzworld |
>Wenn die gestellte Aufgabe Klausuraufgabe wäre, würde ich sie unter Berufung auf das, was man bei den LGS gelernt hat, lösen - das ist dann schneller.
meinst du so:
[mm] \lambda1 [/mm] 0 0 = x1
[mm] -\lambda1\ \lambda2 [/mm] 0 = x2 | + 1.Zeile
0 [mm] -\lambda2\ \lambda3 [/mm] = x3
0 0 [mm] -\lambda3 [/mm] = -x1-x2-x3
[mm] \lambda1 [/mm] 0 0 = x1
0 [mm] \lambda2 [/mm] 0 = x1+x2
0 [mm] -\lambda2\ \lambda3 [/mm] = x3 | + 2.Zeile
0 0 [mm] -\lambda3 [/mm] = -x1-x2-x3
[mm] \lambda1 [/mm] 0 0 = x1
0 [mm] \lambda2 [/mm] 0 = x1+x2
0 0 [mm] \lambda3 [/mm] = x1+x2+x3
0 0 [mm] -\lambda3 [/mm] = -x1-x2-x3 | + 3.Zeile
[mm] \lambda1 [/mm] 0 0 = x1
0 [mm] \lambda2 [/mm] 0 = x1+x2
0 0 [mm] \lambda3 [/mm] = x1+x2+x3
0 0 0 = 0
>Teil d) Hier kannst Du Dich auf den Rang der Koeffizientenmatrix berufen: Rang=3 ==> dim V=3
Also ich habe es so verstanden: Das Erzeugendensystem kann ja ganz viele Vektoren haben und muss ja nicht linear unabhängig sein. Nehmen wir mal an ich hätte ein Erzeugendensystem mit 5 Vektoren gegeben, wäre ja in Ordnung. Wenn ich jetzt von diesem ES die Koeffizientenmatrix berechnen würde, würde dann auch noch dimV=3 rauskommen obwohl ich diesmal mehr Vektoren im ES habe?
Dann weiß ich ja automatisch wieviele Vektoren meine Basis haben muss.
danke
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Hallo,
wenn Ihr noch keine LGS besprochen habt, vergiß alles, was ich zuvor schrieb - Du mußt Dich damit dann jetzt nicht beschäftigen, denn Du hast die Aufgabe ja bereits gelöst.
Falls Ihr LGS besprchen habt:
V ist der Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungs"systems" [mm] x_1+x_2+x_3+x_4=0
[/mm]
Die zugehörige Koeffizientenmatrix ist (1 1 1 1). Ihr Kern ist der Lösungsraum der Gleichung, seine Dimension erhältst Du aus (Anzahl der Variablen - Rang der Matrix). (Beachte, daß ich zuvor in meiner Antwort einen inzwischen <korrigierten Fehler hatte).
Du hast eine Gleichung, 4 Variable, kannst als drei Variable frei wählen und erhältst daß sämtliche Lösungen die Gestalt
[mm] \vektor{-a-b-c\\a\\b\\c} [/mm] haben, a,b,c beliebig.
[mm] \vektor{-a-b-c\\a\\b\\c} [/mm] kann man schreiben als [mm] \vektor{-a-b-c\\a\\b\\c}=a\vektor{-1\\1\\0\\0}+b\vektor{-1\\0\\1\\0}+c\vektor{-1\\0\\0\\1}, [/mm] woran Du siehst, daß diese drei Vektoren ein Erzeugendensystem sind.
In dem Moment, in welchem Du aufgrund von Gelerntem weißt , daß die Dimension des Lösungsraumes =3 ist, weißt Du, daß die drei Vektoren l.u. sein müssen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:50 Fr 11.07.2008 | | Autor: | dbzworld |
Erstmal vielen dank für deine Mühe.
Leider komme ich mit letzterem nicht ganz klar, so dass ich nicht näher eingehen werde, sonst vertuhe ich mich später noch^^
Aber ich denke den Grundgedanken habe ich verstanden.
danke
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