Erzeugendensystem oder Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Do 21.04.2011 | | Autor: | Klempner |
| Aufgabe | Betrachten Sie folgende Teilmengen des [mm] \IR^3:
[/mm]
U= [mm] \{\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1} , \vektor{1 \\ 0 \\ 0}\}
[/mm]
V= [mm] \{\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1} , \vektor{0 \\ 0 \\ 1}\}
[/mm]
W= [mm] \{\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0} , \vektor{0 \\ 1 \\ 1} , \vektor{0 \\ 0 \\ 1}\}
[/mm]
Bei welchen handelt es sich um ein Erzeugendensystem und bei welchem um eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ? |
Hallo,
mir fehlt hier einfach völlig der Ansatz.
Keine Ahnung, wie man überprüft, ob es ein Erzeugendensystem ist oder eine Basis.
Ich habe gelesen, dass ein Erzeugendensystem aus linearabhänigen Vektoren besteht. Muss ich also jetzt schauen, ob die Vektoren untereinander abhängig sind? Dann müsste ja U abhängige Vektoren besitzen und V und W nicht? Wie kann ich das genau prüfen ohne einfach so hinzuschauen?
Und wie sehe ich, dass es eine Basis ist?
Ich habe diese Frage bereits in einem Forum auf einer anderen Internetseite gestellt.
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So kurz vor Ostern?
> Betrachten Sie folgende Teilmengen des [mm]\IR^3:[/mm]
>
> U= [mm]\{\vektor{1 \\
1 \\
1}, \vektor{0 \\
1 \\
1} , \vektor{1 \\
0 \\
0}\}[/mm]
>
> V= [mm]\{\vektor{1 \\
1 \\
1}, \vektor{0 \\
1 \\
1} , \vektor{0 \\
0 \\
1}\}[/mm]
>
> W= [mm]\{\vektor{1 \\
1 \\
1}, \vektor{0 \\
1 \\
0} , \vektor{0 \\
1 \\
1} , \vektor{0 \\
0 \\
1}\}[/mm]
>
> Bei welchen handelt es sich um ein Erzeugendensystem und
> bei welchem um eine Basis des [mm]\IR^3[/mm] ?
> Hallo,
>
> mir fehlt hier einfach völlig der Ansatz.
>
> Keine Ahnung, wie man überprüft, ob es ein
> Erzeugendensystem ist oder eine Basis.
Erzeugendessystem:
Konnen die Vektoren in den Mengen U,V,W jeden erdenklichen Vektor aus dem [mm] $\IR^3$ [/mm] als Linearkombinationen darstellen?
Vektoren in dem Erz-Sys. können linear abhängig sein
basis:
erzeugendes System, welches Minimal ist und aus lin. unabh. Vektoren besteht.
>
> Ich habe gelesen, dass ein Erzeugendensystem aus
> linearabhänigen Vektoren besteht. Muss ich also jetzt
> schauen, ob die Vektoren untereinander abhängig sind? Dann
> müsste ja U abhängige Vektoren besitzen und V und W
> nicht? Wie kann ich das genau prüfen ohne einfach so
> hinzuschauen?
Du könntest z.B. die Vektoren als Zeile einer Matrix schreiben. Bei allen dreien sieht die reduzierte Zeilenstufenform anders aus. Interpretiere diese.
z.B. bei
W
ist sie
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
erzeugen ganz [mm] $\IR^3$ [/mm] sind aber keine Basis, da lin.abh.
>
> Und wie sehe ich, dass es eine Basis ist?
Na eine Basis ist ein minimales erzeugendes System. Nimmst du einen vektor weg, dann gibt es im [mm] $\IR^3$ [/mm] Vektoren, die du nicht mehr darstellen kannst.
>
> Ich habe diese Frage bereits in einem Forum auf einer
> anderen Internetseite gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Fr 22.04.2011 | | Autor: | Klempner |
Ja leider so kurz vor Ostern...
Danke dir schon mal für deine Erklärung. Habe jetzt mit Matrizen versucht zu zeigen, ob die Vektoren untereinander linear unabhängig sind und ob sie damit auch minimal sind.
für U erhalte ich zum Schluss die Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
damit zeige ich ja eigentlich, dass ein Vektor durch andere ersetzt werden kann. Demnach ist es ja nicht minimal und somit müsste es ein Erzeugendessystem sein, oder?
Für V erhalte ich:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
jeder Vektor kann nicht durch den anderen dargestellt werden. Somit müsste das System eine Basis sein.
Für W erhalte ich
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Demnach ist wieder ein Vektor überflüssig und das System wäre ein Erzeugendessystem.
Stimmt das so?
Gibt es eigentlich minimale und maximale Anzahlen an Vektoren, die eine Basis oder ein Erzeugendensystem haben muss, wenn es um den Raum [mm] \IR^n [/mm] ?
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Hallo Klempner,
> Ja leider so kurz vor Ostern...
>
> Danke dir schon mal für deine Erklärung. Habe jetzt mit
> Matrizen versucht zu zeigen, ob die Vektoren untereinander
> linear unabhängig sind und ob sie damit auch minimal
> sind.
>
> für U erhalte ich zum Schluss die Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> damit zeige ich ja eigentlich, dass ein Vektor durch andere
> ersetzt werden kann. Demnach ist es ja nicht minimal und
> somit müsste es ein Erzeugendessystem sein, oder?
U ist kein Erzeugendensystem ds [mm]\IR^{3}[/mm].
>
> Für V erhalte ich:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> jeder Vektor kann nicht durch den anderen dargestellt
> werden. Somit müsste das System eine Basis sein.
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Für W erhalte ich
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Demnach ist wieder ein Vektor überflüssig und das System
> wäre ein Erzeugendessystem.
Richtig.
>
> Stimmt das so?
>
> Gibt es eigentlich minimale und maximale Anzahlen an
> Vektoren, die eine Basis oder ein Erzeugendensystem haben
> muss, wenn es um den Raum [mm]\IR^n[/mm] ?
>
Eine minimale Anzahl gibt es, nämlich die Dimension des Vektorraums.
Eine maximale Anzahl gibt es hingegen nicht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Fr 22.04.2011 | | Autor: | Klempner |
Danke dir!
Was ist U dann? Ich dachte es gibt nur das eine oder andere...
Und eine Basis ist es dachte ich nicht, da der eine Vektor durch die anderen erzeugt werden kann.
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Hallo Klempner,
> Danke dir!
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> Was ist U dann? Ich dachte es gibt nur das eine oder
> andere...
>
> Und eine Basis ist es dachte ich nicht, da der eine Vektor
> durch die anderen erzeugt werden kann.
Es gibt 3 Möglichkeiten: Unterraum, Basis, Erzeugendensystem
Wobei eine Basis ein minimales Erzeugendesystem ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Sa 23.04.2011 | | Autor: | Klempner |
Hallo MathePower,
ich glaube jetzt geht mir ein Licht auf 
Bei den anderen beiden Systemen konnte man ja immernoch alle 3 Richtungen eindeutig bestimmen, also in der Matrix kam bei jeder Spalte irgendwo ein 1.
Bei U ist das nicht so. Deshalb ist U kein Erzeugendessystem, da nicht alle Dimensionen dargestellt werden.
Muss ich das sonst noch irgendwie rechnerisch begründen. Es gibt ja auch die 3 Regeln zu den Unterräumen. Muss ich die dann noch nachweisen?
Gruß Klempner
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schöne Ostern...
> Bei U ist das nicht so. Deshalb ist U kein
> Erzeugendessystem, da nicht alle Dimensionen dargestellt
> werden.
Na dieses U ist schon ein Erzeugendessystem. Jedoch nicht für [mm] $\IR^3$. [/mm]
> Muss ich das sonst noch irgendwie rechnerisch begründen.
> Es gibt ja auch die 3 Regeln zu den Unterräumen. Muss ich
> die dann noch nachweisen?
Gegenbeispiel suchen wäre für mich der einfachere Weg, dass nicht ganz [mm] $\IR^3$ [/mm] dargestellt werden kann. Wenn du dir die reduzierte Zeilenstufenform genauer ansiehst, dann fällt dir garantiert eines ein.
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