Erzeugendensystem im R^4 < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Mo 19.11.2012 | | Autor: | haner |
| Aufgabe | Füge zu den 3 gegebenen Vektoren aus dem [mm] R^4 [/mm] a=(1,0,3,4) ; b=(4,3,0,-1) ; c=(5,3,3,3) eine minimale Anzahl an neuen Vektoren hinzu, sodass sie ein Erzeugendensystem bilden.
Begründe ausführlich.
ich hoffe es kann mir jemand helfen vielen dank |
Hallo,
zunächst habe ich einmal gezeigt, dass a, b und c linear abhängig sind:
c = a + b
Aus wie vielen Vektoren besteht denn ein Erzeugendensystem im [mm] R^4 [/mm] minimal?
Das sind doch 4, oder?
Könnte ich z.B. d=(0,0,1,0) wählen?
Wie kann man das ausführlich begründen?
Gruß haner
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Hallo haner,
> Füge zu den 3 gegebenen Vektoren aus dem [mm]R^4[/mm] a=(1,0,3,4) ;
> b=(4,3,0,-1) ; c=(5,3,3,3) eine minimale Anzahl an neuen
> Vektoren hinzu, sodass sie ein Erzeugendensystem bilden.
> Begründe ausführlich.
>
>
> ich hoffe es kann mir jemand helfen vielen dank
> Hallo,
>
> zunächst habe ich einmal gezeigt, dass a, b und c linear
> abhängig sind:
> c = a + b ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aus wie vielen Vektoren besteht denn ein Erzeugendensystem
> im [mm]R^4[/mm] minimal?
> Das sind doch 4, oder?
Genau! Weil die Dimension vom [mm]\IR^4[/mm] eben 4 ist, und das ist auch die Anzahl der Vektoren in einer Basis des [mm]\IR^4[/mm]
> Könnte ich z.B. d=(0,0,1,0) wählen?
Was meinst du denn?
Den Vektor [mm]c[/mm] kannst du vergessen, der trägt zur Erzeugung nix bei, da er sich aus [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] linear kombinieren lässt, wie du ja richtig erkannt hast: [mm]c=1\cdot{}a+1\cdot{}b[/mm]
Mit c kann man also nix neuer erzeugen, was nicht schon mit a und b erzeugt werden kann.
Du musst also mindestens 2 Vektoren hinzunehmen, du brauchst ja mindestens 4 linear unabh. Vektoren, um den [mm]\IR^4[/mm] zu erzeugen (Dimension ist ja 4)
> Wie kann man das ausführlich begründen?
Also, wenn du d hinzunimmst, sind a,b,d linear unabh.?
Das wäre gut, dann fehlte noch ein Vektor [mm]e[/mm], so dass [mm]a,b,d,e[/mm] linear unabh. ist.
Schau' dir in dem Zusammenhang mal den "Basisergänzungssatz" an ...
Hattet ihr den schon?
>
> Gruß haner
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Mo 19.11.2012 | | Autor: | haner |
Erstmal Danke für die Hilfe.
Ich hab nun rausbekommen, dass a, b, und d linear unabhängig sind. D.h. ich kann d schonmal verwenden.
Jetzt verstehe ich aber nicht ganz, warum ich überhaupt a un b verwenden darf. Ich habe doch zuvor herausbekommen, dass a,b und c linear abhängig sind.
Gruß haner
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Hallo nochmal,
> Erstmal Danke für die Hilfe.
> Ich hab nun rausbekommen, dass a, b, und d linear
> unabhängig sind.
Ok, mag sein ...
> D.h. ich kann d schonmal verwenden.
> Jetzt verstehe ich aber nicht ganz, warum ich überhaupt a
> un b verwenden darf. Ich habe doch zuvor herausbekommen,
> dass a,b und c linear abhängig sind.
Jo, aber a und b nicht, die sind keine Vielfachen voneinander, also sind a und b linear unabh.
Statt a und b kannst du auch c verwenden, dann müsstest du aber statt zwei weiteren drei weitere Vektoren für das Erzeugendensystem suchen.
Du hast nun a,b,(c) und d als Vektoren zusammen, fehlt noch einer ...
>
> Gruß haner
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Mo 19.11.2012 | | Autor: | haner |
Achso,
dann verstehe ich es jetzt.
Danke.
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