Erzeugendensystem Z/2Z[X] < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper, X eine UNbestimmte, und K[X] ein Polynomring in der Unbestimmten X über K. Es sei
[mm] K_n[X] ={p\inK[X]|grad(p)\le n}
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dassK[X] ein K-Vektorraum ist, und [mm] K_n[X] [/mm] ein Teilraum von K[X] ist.
(b) Geben Sie ein Erzeugendensystem von K[X] und [mm] K_n[X] [/mm] an.
c) Beweisen Sie, dass B={3x+4, -2, [mm] 2x^2+1} [/mm] ein Erzeugendensystem von [mm] R_2[X]ist. [/mm] Ist B auch ein Erzeugendensystem von [mm] K_2[X], [/mm] wenn K=Z/2Z? |
Hallo,
also mit der ersten Frage hatte ich keine gröberen Probleme, aber mit (b).
Kann es wirklich sein, dass {1,x,x²,x³,..} ein Erzeugendensystem für K[x] ist? Oder mache ich es mir da zu leicht?
Bei c) denke ich, ich nehme allgemein ein Polynom ax²+bx+c und zeige, dass man es mit einer Linearkombination der ELemente von B bilden kann. Aber ich kann mir nicht sehr viel unter Z/2Z[X] vorstellen. Kann mir jemand helfen?
Gruß,
Elisabeth
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Guten Tach.
Also die von dir angegebene Menge ist ein Erzeugendensystem von K[X]. Die angegebenen Polynome sind linear unabhängig(da gradweise verschieden)
Bei c) würde ich es anders machen.
Du weißt ja die Dimension des [mm] R_{2}[X]. [/mm] Die ist ?. Dann schaust du nach wie sich das Nullpolynom des [mm] R_{2} [/mm] als Linearkombination darstellen lässt. Also ist das Gleichungssystem [mm] 0*x^2+0*x+0 [/mm] = [mm] a(3x+4)+b(-2)+c*(2*x^2+1) [/mm] zu lösen Wenn a=b=c=0 dann sind die Angebenen Polynome linear Unabhängig und da die Dimension ebenfalls stimmt bilden die Vektoren automatisch ein Erzeugendensystem des [mm] R_{2}[X].
[/mm]
Für den Zweiten Teil der Aufgabe schau mal unter wikipedia nach Stichwort Polynomringe. Das ist dann der Polynomring mit einem Endlichen Körper(also mit endlich vielen Elementen). In diesem Fall ist es der Körper mit zwei Elementen nämlich der Körper [mm] Z_{2} [/mm] also der Körper mit den Restklassen mod 2, welche da sind Null und Eins. Allerdings wollte ich mal fragen was bei euch ein Vektorraum ist. Denn der K[x] ist eigentlich kein Vektorraum sondern(wie der Name schon sagt ein RING)
Ich hoffe ich konnte helfen.
Schönen Tach noch.
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